【2017年整理】15年高考真题——理科数学(上海卷).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）共14小题，每小题4分，共56分1．设全集若集合，，则若复数满足，其中为虚数单位，则若线性方程组的增广矩阵为解为，则若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为方程的解为在报名的名男教师和名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和若的渐近线方程为，则的渐近线方程为设为，的反函数，则的最大值为在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）已知函数若存在满足，且，则的最小值为在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和过作于，于，则共4小题，每小题5分，共20分，则“中至少有一个数是虚数是虚数非必要 （B）必要非充分 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为 （B） （C） （D） 17．记方程：，方程：，方程：，其中是正实数当成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是方程有实根，且有实根方程有实根，且无实根方程无实根，且有实根 （D）方程无实根，且无实根设是直线与圆在第一象限的交点，则极限 （B） （C）1 （D）2 三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）如图，在长方体中，，，分别是的中点．证明四点共面，并求直线与平面所成的角的大小 20．（6分+8分）如图，三地有直道相通，千米，千米，千米现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时乙到达地后原地等待设时乙到达地⑴求与的值⑵已知警员的对讲机的有效通话距离是千米当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为⑴设，，用的坐标表示点到直线的距离，并证明⑵设与的斜率之积为，求面积的值6分）已知数列与满足 ⑴若，且，求数列的通项公式⑵设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项⑶设，，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且分对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为设单调递增，，⑴验证是以为周期的余弦周期函数⑵设证明对任意，存在，使得⑶证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有2015年普通高校招生全国统考卷解答 一．1．．．16．．．．．0；9．．．5；12．．．19．，以原点建立空间直角坐标系，，，，。因，故，知直线共面，即共面。设平面法向量为则。又，，得。设直线与平面所成角，因，故因此直线与平面所成的角的大小为．⑴由题，记乙到甲所在地为千米，在中，，故）⑵甲到用时小时；乙到用时小时，从到总用时小时当时，；当时，所以因在上的最大值是，在上的最大值是，在上的最大值是，不超过．⑴由题：，点到直线距离，所以； ⑵设：，：。设，，得，同理。由， ．⑴由，得，故首项为为，从而⑵由，得，故是常数列，因此即因为，，所以，即故的第项是最大项⑶因为，所以，当时， 当时，，符合上式所以因为，所以，①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；当时，的最大值为，最小值为，而；当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得综上，的取值范围是．⑴由题的定义域为任意 ，故，即是以余弦周期的余弦周期⑵由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得若，则由单调递增得到，与矛盾，所以同理可证故存在使得⑶若为在上的解，则，且， ，即为方程在上的解同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解以下证明最后一部分结论由所证知存在，使得，是函数的区间。与类似地可以证明：在上的解且仅当在上的解从而在上的解个数相同。故，，，而，故类似地，当时，有结论成立 2015年高考真题理科数学（解析版） 上海卷 6 / 6