【2017年整理】MonteCarlo(蒙特卡洛算法)算法.ppt

Monte Carlo Simulation 简介 概述 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法或随机抽样方法或统计试验方法 ，属于计算数学的一个分支。是一种基于“随机数”的计算方法。 起源 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。 成型 这一方法成型于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。 该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 发展 本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。  实质 Monte Carlo 方法也称为统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。 把一些复杂的东西用大量的模拟实验来做，最后得到一些结论。 基本思想和原理 基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。 原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。。 步骤 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤： 构造或描述概率过程； 实现从已知概率分布抽样； 建立各种估计量 构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后， 按照这个概率分布抽取随机变量 （或随机向量），这一般可以直接由软件包调用，或抽取均匀分布的随机数构造。这样，就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。 建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例子 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。  比喻 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的民意。其基本思想是一样的。 应用 科技计算中的问题比这要复杂得多。但Monte Carlo 方法广泛地应用于许多应用领域，如计算物理学 、粒子输运计算、量子热力学计算、量子化学、分子动力学与 。特别在金融计算中，各方法有不可取代的优势。 金融中的应用 金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。 Monte Carlo方法的优势 Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 Monte Carlo模拟适用于研究复杂体系。研究具有多得数不清的结构、状态的体系，对此我们可以采用蒙特卡洛模拟，以统计的方法寻找出现几率最高的结构、状态，或相应的有关数据。 Monte Carlo 方法处理的问题 Monte Carlo 方法处理的问题可以分两类 确定性的数学问题 多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分方程、解某些偏微分方程边值问题和计算代数方程组、计算微分算子的特征值等等 随机性问题 方法 在解决实际问题的时候应用Monte Carlo方法主要有两部分工作：1、用此方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。 2、用统计方法把模型的数字特征