人大微积分课件7–4平面及其方程.ppt

第四节 平面及其方程 一、图形与方程 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 在空间直角坐标系中，设曲面S（或曲线L)与三元方程（或方程组） 或 都是 有下述关系： （1）曲面S（或曲线L)上任意一点的坐标都满足 上述方程（或方程组）. （2）满足上述方程（或方程组）的 曲面S（或曲线L)上的坐标. 那么，上述方程（或方程组）叫曲面S（或曲线L)的方程，而曲面S（或曲线L)叫做上述方程（或方程组）的图形. 一、图形与方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有 二、平面的点法式方程 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形． 其中法向量 已知点 所求平面的一个法向量为 即 由点法式方程，得 解 解 取 所求平面方程为 化简得 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 三、平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 解 所以设平面方程为： 所求平面平行于 轴，可知 将已知两点代入得 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 四、两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // * * * * 例3 一平面过点和且平行于轴，求其方程. 例1已知点和，求过点且与垂直的平面方程. 例2求过三点、和的平面方程. 例4 设平面与三轴分别交于、、（其中，，），求此平面方程. 轴上截距 轴上截距 轴上截距 例6 设是平面 外一点，求到平面的距离.