“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介.pptVIP

高量要点回顾 一、 理论框架/基本概念 二、量子力学基本理论 三、基础研究结果 四、近似方法 一、 理论框架/基本概念 物理学研究自然界最基本的运动规律，它对自然规律的描述是通过数学这一语言体现的 1. 矢量空间：态矢(叠加、镜像、归一)、算符(本征态矢、本征值、兼并；对易的厄米算符可具有相同本征矢-态矢标记去兼并)、算符及态矢运算、基矢(完备归一性、展开系数的“概率”解释)、矩阵表示、表象变换(基的改变) 2. 测量（投影）、几率假说、测不准关系 3. 与经典力学（分析力学）的关系：状态（x，p）?|ψ；力学量?算符、对称（连续）操作与生成元、泊松括号?对易关系；牛顿方程?薛定谔方程 二、量子力学基本理论 态的（无穷小）空间平移：动量是平移的生成元+量纲考虑?坐标与动量的对易关系，坐标表象、动量表象 态的（无穷小）时间演化：H是时间演化的生成元+量纲考虑?时间演化算符与含时薛定谔方程（能量本征态?定态薛定谔方程/束缚态、分立能级）；薛定谔/海森堡绘景?海森堡运动方程；传播子与经典作用量的路径积分?费曼路径积分方法 态的（无穷小）转动：角动量是转动的生成元+量纲考虑+转动算符的群性质?角动量对易关系，角动量的本征值（自旋）与本征态 力学量随时间的变化、能量守恒（能量表象）、对称性与守恒律 全同粒子与交换对称，对称性假设，二次量子化 混合系综、密度算符及其时间演化、量子统计力学 电子的相对论运动方程：狄拉克方程 三、基础研究结果 1. 坐标、动量、角动量算符的本征态、本征值，坐标/动量波函数的互换、算符的表示 2. 自由粒子（平面波、球面波）、谐振子（粒子数表象）、高斯波包、相干态、氢原子、方势阱、电子自旋与轨道角动量 3. 态的叠加、演化、关联（跃迁）振幅 4. 自旋（角动量）态与算符在转动下的变换（转动算符）、球谐函数、角动量的叠加与表象变换（CG系数）、转动算符的矩阵表示（s=1/2,1及Schwinger振子模型）、张量算符的变换性质、构造、矩阵元（Wigner-Eckart定理） 5. 规范变换（场的基点选取） 6. 对称操作与兼并、宇称与算符变换、态的宇称、选择定则、晶格平移与Bloch定理 7. 时间反演、态与算符的变换、反幺正算符、角动量本征态的时间反演（矩阵元计算）、Kramers兼并 要区分算符与算符在特定表象的表示 利用矩阵代数的应用举例 若 |1和|2正交，b1和b2是实数，A为厄米算符，且 。 求解或证明： 1）B为厄米算符; 2）[A,B]; 3) A的本征值与本征矢；4）sin(A) 的本征值与本征矢；5）以|1和|2为基的表象中 sin(A) 的矩阵表示；… 解：若3）的解为|a1=(c11,c12)T, |a2=(c21,c22)T,则|a1和|a2是sin(A)分别对应于本征值为sin(a1)和sin(a2)的本征矢; sin(A)=|a1sin(a1)a1|+|a2sin(a2)a2|=… 利用特征解和对易厄米算符特性的应用举例 均匀磁场中的电子： Hxy与Hz对易,[Q,P]=i?,本征值为 H的解为 Hxy也可写为： 可知本征矢 四、近似方法 1. 定态微扰理论：非兼并微扰展开（能级不交叉、波函数归一化）、兼并微扰、变分法（电子结构理论计算） Stark（电场）效应（一级、二级），精细结构（旋轨）、Zeeman（磁场）效应（表象选择），van der Waals（诱导电偶极矩）作用，磁性的Pauli模型 2. 含时微扰理论（严格）：相互作用绘景、含时耦合方程、2态问题（Rabi公式、核磁共振） 3.含时微扰理论（近似）：Dyson级数、跃迁速率（Fermi黄金规则）、精细平衡、（辐射场）吸收截面（偶极近似） 4. （弹性）散射理论：Lippmann-Schwinger方程、微分散射截面、一阶与高阶Born近似 高量特征 1. 基础性 2. 应用性（广泛、普适） 3. 前沿性（量子信息、拓扑绝缘体、外尔费米子、Majorana费米子） 题外话：关于理论的发展 1. Dirac在1931年关于”Magnetic Monopole”文中指出：理论物理的前途，甚至整个基础物理学前途的发展，有两个不同的可能性。一个是从实验引导出来的灵感，一个是从数学的结构的美所引导出来的灵感。 时间越来越过去的话，从实验引导出来的灵感要渐渐地退居不重要的位置，因为实验太困难了。所以将来物理学的灵感，最主要要从美的数学方面来。 2. 82年Dirac回答杨振宁提问时说最可能的方向（代数、几何、分析与拓扑）是分析---尽管他的贡献主要是代数性的（Poisson括号、反对易γ矩阵） 3.