傅里叶光学1–5函数正交展开和级数.ppt

2.N维 为n维空间正交的单位矢量（正交坐标系） 三角函数空间 walsh函数空间 sinc函数空间 贝赛尔函数空间 二、傅里叶级数 2.性质 （三）傅里叶级数 （四）函数的周期性和奇偶性在定积分中的应用 （五）傅里叶级数的另一种表示 （六）傅里叶级数的复数表示 2 （八）频谱的概念 例：周期矩形脉冲 K是常数； （周期2T=4，T=2） k 0 4 2 10 8 6 -2 x y k 0 4 2 10 8 6 -2 x y 3.周期为d y 2 0 -d/4 d/2 x -d/2 d/4 偶函数 y 2 0 -d/4 d/2 x -d/2 d/4 4.求如图所示一维正弦位相光栅透过率函数 的傅里叶级数展开式 表面 （n阶第一类贝赛尔函数） n阶第一类贝赛尔函数的积分公式 正弦光栅透过率函数也可表示为 令 0阶第一类贝赛尔函数积分表达式。 （频率） 为谐频（此为空间频谱，x→t为时间频率） 的曲线叫振幅频谱图。 位相频谱图。 特点：离散的，具有谐波性、收敛性 (n) 0 1 2 3 4 5 * §1-5 函数的正交展开和傅里叶级数 一、矢量空间与函数空间 （一）矢量空间 1.三维矢量 正交单位矢量： n维空间n个单位正交构成的正交坐标系 展开系数 的求法： 两边同乘 即： 非单位矢量 （二）函数（信号）空间 1、设有无穷个正交函数 构成函数空间 正交函数 展开系数 的求法： 两边同乘 积分 若 ，称正交归一化空间和正交归一化坐标系。 2、若正交函数为复函数 正交性 （三）常用正交函数坐标系 （一）周期函数 （二）三角级数 1.定义： 若 ，为正弦级数； 若 ，为余弦级数。 （只有周期函数能用三角级数展开） （1）周期性2T （2）三角函数正交性 1、f(x)是周期为2T的函数 （1） 的计算： 2、系数 为各成分占得比重、计算 （2） 的计算：利用正交函数的性质 1.周期函数的积分性质 设周期函数f(x)的周期为2T，则在长为2T的任意区间上的定积分都相等。 2T f(x) x (1)图形分析 (2)证明 令 令 2. 函数的奇偶性 （1）奇 偶 （2）若周期函数为奇函数，其傅氏展开只包含正弦项 若周期函数为偶函数，其傅氏展开只包含余弦项 若非奇非偶， 3.奇偶函数的对称积分(积分限相对于原点是对称的) （1）奇函数的对称积分为零。 （a不一定是周期） （2）偶函数的对称积分等于正限积分的二倍 （3）n个奇函数的代数和仍为奇函数 （4）n个偶函数的代数和仍为偶函数 （5）1个奇函数与一个偶函数相乘（或相除），结果为奇函数 （6）两个奇函数相乘（或相除），结果为偶函数 （7）n个偶函数相乘（或相除），结果为偶函数 （8）m个奇函数n个偶函数相乘（或相除），结果为取决于 m是奇数还是偶数 （9）奇函数和偶函数相加（减），结果为非奇非偶。 a b a b （表示某种振动或某种谐波分量） ：初位相 ：振幅 欧拉公式： 令 的求法： （七）举例（傅氏展开先判断奇偶性） 1.周期为2T，f(x)=x,-TxT傅氏级数 x y 奇函数，只用正弦项展开 x y *