刘建亚主编微积分教学课件.ppt

第四节 三重积分的概念及其计算法 一. 三重积分的概念 二、三重积分在直角坐标系中的计算法 * 引例 空间物体的质量 设有一质量分布不均匀的物体占有空间区域 在点 处的体密度为 求此物体的质量 也表示其体积， 把 块小区域: 任意分割成 设 小块区域的最大直径, 则 为 4、取极限： 1、分割： 2、替代： 3、求和： 单位体积的质量 小区域中任意两点 距离的最大值。 定义 是定义在空间有界闭区域 上的有界函数, 设 ①将 个小区域 任意分割成 若极限 则称此极限值为函数 在 上的三重积分。 ④设 小块区域的最大直径, 为 存在, 记作: 即 作和式 ② ③ 注：三重积分与小区域的分法和 的选法无关。 存在定理 当函数 在有界闭区域 上连续时, 在 上必定可积. 性质: 具有与二重积分类似的性质. 如: 线性性质： 关于积分区域的可加性： 保号性： 若在 上恒有 特别地, 则 充分（但非必要）条件。 即三重积分的几何意义 在直角坐标系中， 所以 方法：将其化为累次积分，即三次定积分。 三重积分的中值定理： 若 在有界闭区域 上连续, 则 使得 相交不多于两点. 轴且穿过区域 的直线与 的边界曲面 假设平行于 在闭区域 上， 固定点 的一元函数。 为 在区间 上对 积分， 再计算 在区域 上的二重积分. 即：先计算定积分, 再计算二重积分. 若 把三重积分化作先对 再对 的三次积分。 最后对 若 把三重积分化作先 再 的三次积分。 最后 积分化作其它顺序的三次积分。 内部的直线与 的边界 若平行于 轴或 轴且穿过闭区域 曲面相交不多于两点, 可将区域投影到 面或 面上, 把三重 内部的直线与 的边界曲面 若平行于坐标轴且穿过闭区域 相交多于两个点, 把 分成若干部分， 使 上的三重积分化为 各部分闭区域上的三重积分的和。 例1 计算 其中 由三个坐标面及平面 所围。 解 画草图 例2 设有一物体,占有空间闭区域 点 处的体密度为 计算该物体的质量。 解 补充 解 补充例题 计算 其中, 由 画草图 所围成在第一挂限的部分 解 联立方程组 得投影区域 例4 求由曲面 所围立体体积。 注： 先计算一个定积分，再计算一个二重积分。 补充 若空间区域 其中 是竖坐标为 的平面截闭区域 所得到 的一个平面闭区域， 则有 有时，三重积分也可以先算一个二重积分，再算一个定积分： 例5. 计算 由 所围. 解 画草图 例6 计算 由锥面 与平面 所围成的闭区域。 解 画草图 一般情况下: 的面积可以表示为 的函数,而 则 作业纸P25 19 * *