北师大版数学新课标教学课件角平分线.ppt

几何的三种语言 如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫这个角的角平分线 尺规作图 对照证明过程 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠ODP= ∠OEP=90° 在Rt△ODP和Rt △OEP中 ∠ODP= ∠OEP ∠DOP＝ ∠EOP OP=OP ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(AAS) ∴PD=PE 角平分线的性质 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠ODP= ∠OEP=90° 在Rt△ODP和Rt △OEP中 DP= ∠EP OP＝ OP ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL) ∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上. 挑战自我 证明∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∠BAD= ∠CAD ∴OF=OE 在Rt△BED和Rt △CFD中 OF=OE BD=CD ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL) ∴ BE=CF * * * 命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点. 要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. A B C P 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等). 这是一个证明三条直线交于一点的证明根据. A B C P a b c 证明点A在线段CD的中垂线上的方法 1、等距法：证明AC=AD即可 2、垂直平分线的定义法：证明CO=DO，AO垂直CD，则 点A在线段CD的中垂线上 3、等腰三角形底边上的“三线合一” D C O A B 证明点AB是线段CD的中垂线 1、两点法：证明AC=AD，BC=BD 即点A点B都在中垂线上。 2、定义法：证明CO=DO，AO垂直CD，则 点AB是线段CD的中垂线 3、等腰三角形底边上的“三线合一” 怎样得出角平分线？ 回忆角平分线的定义？ 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法: 用尺规作角的平分线. 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于 DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. A B O C 则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 1 .画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？ 思考题 A O B P E D 命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 C 证明：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. A O B P E D C 证明： A O B P E D C 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 ∵∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. C 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 逆命题： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗? 如果是，请你证明它. 已知:如图,PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. O B A P D E 逆命题： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. O B A P D E 逆定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 几何语言： ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E ∴点P在∠AOB的平分线上 老师提示:这个结论又是经常用来证明点在