北方工业大学复变函数fb1–1.ppt

教 材: 复变函数与积分变换 主讲教师: 肖 维 维 电 话: 答疑时间: 周一晚9-10节 办公地点: 四教西204 课程简介 课程名称 复变函数与积分变换 研究对象 自变量为复数的函数 主要任务 复数域上的微积分 考试方式与成绩评定 期末总成绩= 平时成绩* 30%+期末考试成绩* 70% 平时成绩=作业+出勤+期中考试 每章交一次作业, 科代表放作业箱里. 主要内容 复数与复变函数 复变函数的积分 级数 留数理论及其应用 积分变换 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展 ，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。 背景 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。 辐角 实轴正向转到与向量 方向一致时所成的角度 叫 做复数的幅角，记作 ，即 ． 逆时针方向转动所成的角为正角，否则为负角. 一个复数的辐角有无穷多个, 但辐角主值是唯一的. 例1: 求下列复数的辐角主值和辐角.1+i 1-i -1+i -1-i 解: 例3 : 化简 解: 乘法结论推广到 n 个复数相乘的情况: 例4 计算 的所有值． 例6 建立连接复平面上 及 两点的 线段方程和直线方程． 过 及 两点的直线方程为 连接 及 两点的线段的参数方程为 * 复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。 　　二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。 例2 求下列复数三角式和指数式． 解: 注:两复数相乘就是把 模相乘, 辐角相加. 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 例5 求方程 的所有根．