单辉祖材力–6〔第七章弯曲变形〕.ppt

§6-5 简单超静定梁 * 剪力 弯矩 弯曲正应力及强度条件 弯曲切应力及强度条件 弯曲刚度分析 静不定梁分析 弯曲变形的计算 第七章 弯曲变形 弯曲内力 弯曲强度 弯曲变形 1、齿轮传动 轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动； 加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。 §7-1 引言 一、弯曲实例 弊端： 1 2 1 2 2、继电器中的簧片 电磁力 当变形足够大时，可以有效接通电路； 触点 当变形不够大时，不能有效接通电路； 簧片 工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。 x w 挠曲轴 m—m n—n （1）挠度 w ：横截面形心在垂直于轴线方向的位移 （2）转角 θ：横截面绕中性轴的转过的角度 w θ 符号规定：向上为正，向下为负。 符号规定：逆时针为正，顺时针为负。 （3）轴向位移Δx ：横截面形心在轴线方向的位移 ， 小变形情况下，略去不计。 ΔX x （连续、 光滑 平坦的平面曲线） w z 二、梁变形的表示方法 θ (通常θ1o=0.0175弧度) 挠曲轴曲线性质： 挠曲轴 x w x w(x) o θ(x) θ(x) （2）挠曲轴上任一点的切线斜率等于梁上该截面的转角值。 （1）挠曲轴上任一点的纵坐标等于梁上该截面的挠度值； 三、挠度和转角之间的关系 1、中性层曲率表示的弯曲变形公式 (纯弯曲变形公式， EI为抗弯刚度） 2、数学中的曲率公式 一、挠曲轴微分方程 M ρ o x w ρ(x) M(x) §7-2 梁变形基本方程 3、挠曲轴微分方程 4、挠曲轴近似微分方程 弧度 （1）在小变形条件下， o x w M 0 M 0 （2）正负号确定： M 与w″保持同号 （1）线弹性范围 （2）小变形条件 （3）平面弯曲 适用条件： 二、积分法计算梁的变形 C、D为积分常数， 它由位移边界与连续 条件确定。 边界条件： (2)铰支座： A B C A B （1）固定端约束： 连续条件 ： C 例1：悬臂梁AB，弯曲刚度 EI 为常数，受力F 和力偶M = FL 作用，求w(x)，θ(x)；并计算B截面的挠度和转角值。 解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F 梁的弯矩方程： L B M A F FAy x 挠曲轴近似微分方程： x w 2、确定积分常数 A端为固定端约束， x=0, w=0 x=0,θ=0 C=0 , D=0 3、挠度方程、转角方程及B截面的转角 将 x=L 代入转角方程： L B M A F FAy x w x 例2：由积分法求图示梁的wA、?A。 解：1) 坐标系如图； AC段： 则近似微分方程为： 积分可得： x w x x Fa a a F EI C A B 2) 分两段进行分析： BC段： 积分可得： 则近似微分方程为： 利用约束和连续条件确定C1 、D1 、C2、D2四个常数： 时， 约束条件： 连续条件： 处， 由此可得： 即： 由此可得： 最后可得： （向下） （逆时针） (2) 由约束和连续条件求积分常数； (1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数； 小结： (3) 坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)； (4) 注意x的范围。 §7-3计算梁位移的叠加法 由于：1）小变形，轴向位移可忽略； 简单载荷下梁的挠度和转角见附录E。 因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 2）线弹性范围工作。 例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。 解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 F l l l EI F A B C D q B 1 F q C 1 w C 1 w C 1 q C 1 ? 2 l 直线 w B 1 (a) q D 1 q B 2 w D 1 · F q D 1 BD 直线 w D 1 w B 2 (b) ? 对图a，可得C截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： （向下） （顺时针） q B 1 F q C 1 w C 1 w C 1 q C 1 ? 2 l 直线 w B 1 (a) 对图b，可得D截面的挠度和转角为： 同理可得此时B截面的挠度和转角为： （向下） （顺时针） q D 1 q B 2 w D 1 · F q D 1 BD 直线 w D 1 w B 2 (b) ? 将相应的位移进行叠加，即得： （向下） （顺时针） 例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面 的挠度和转角以及D截面