同济大学线性代数第5章.pptVIP

结论 并非所有矩阵都可以对角化（相似对角化） 即： 对称矩阵一定可以对角化（有定理） 可以对角化的充要条件是：存在n个线性无关的特征向量p1，……，pn，且P＝（p1,p2，….，pn） 可以对角化的一个必要条件是：n阶矩阵A有n个互异特征值 练习：请问P120的例5，6，7中矩阵哪些可以对角化？ 例题：P125，例11 数学模型 矩阵的特征值和特征向量应用十分广泛，包括生物学、社会学、经济学等等，工程方面的应用更是不可计数，仅系统的稳定性就已可窥豹之一斑。 介绍的几个实际问题包括人口流动问题、动物繁殖的规律问题、商品的市场占有率问题等。 人口流动问题 设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市。假定人口总数不变，那么经过许多年后全国人口将会集中在城市吗？ 动物繁殖的规律问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组0~5岁；第二组6~10岁；第三组11~15岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？ 根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有 （ 是莱斯利矩阵L的唯一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。  商品的市场占有率问题  有两家公司R和S经营同类的产品，它们相互竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场分额，而S公司占有2/5的市场分额。问两年后，两家公司所占的市场分额变化怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？是否有一组初始市场分额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变？  附录：前面的部分证明 于是， 的特征值为 ⑵ 特征值互异，必存在正交变换 其中 为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型 于是，曲面 这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于 轴的椭圆柱面. 在新变量 下称为标准形 特征值的性质的证明 ⑴ 证 因为 是 的 个特征向量，则有 即 令 ，即得 另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的 展开式中，只有对角元之积含有 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将非重根对应的特征向量单位化； 3. 将重特征值对应的特征向量单位正交化; 4. 2. 1. 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法（掌握） 将所有单位化后的特征向量组成P，注意与特征值的对应关系。 5. 三、实例分析 解 例12 例：设对称矩阵A，已知A有二重特征值， λ1＝λ2＝2 求： 1）x和另一个特征值λ3；（回忆特征值的两条性质） 2）A的所有特征向量； 3）求正交矩阵P，使得A正交化 解：1） 2） 3）正交化矩阵P 建议验证 作业：P138，14，16（1），17 化简得：（1 -4/9 ；0?????0)由此得化简后的方程 a – 4/9b = 0 ;结合约束条件 a + b = 1 得： a= 4/13≈31% b= 9/13≈69% 这是使市场稳定的两家公司的初始分额，也正好与表4-1中的数据相吻合。  矩阵对角化的简单应用 作业9： P134 2（1），6（1），20 一、ｎ元二次型 1、定义 的二次齐次多项式 含有ｎ个变量 ① 称为二次型． 或记为 注 ①当常数项为实数时，称为实二次型； ②当常数项为复数时，称为复二次型． 二、二次型的矩阵表示 定义 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形． 定义 特别地，若系数只在1，－1，0取值，即 为二次型的规范形． 则二次型　　　　　． 特别注意：Ａ为对称矩阵. 令 任一二次型ｆ 三、二次型和矩阵A的关系 对称矩阵Ａ 任一对称矩阵Ａ 二次型ｆ 一一对应 ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型ｆ的矩阵； 对称矩阵Ａ的秩称为二次型ｆ的秩． 练习　写出下列二次型的对称矩阵． 3）复数域Ｃ上的４元二次型 例１　1）实数域Ｒ上的２元二次型 2）实数域上Ｒ的３元二次型 设 四、化二次型为标准形 　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的 线性变换，将二次型化为标准形． 记 记作