向量在几何应用.ppt

研修班 向量在平面几何中解题的应用 复习旧知: （1）向量共线的条件: 与 共线 （2）向量垂直的条件： （3）两向量相等的条件： 且方向相同。 1.应用向量知识证明平面几何有关定理 例1、证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明？ . 练习１: 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B D C 已知：平行四边形ABCD 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。 A B D C 解：设 ，则 ∴ 例2.如图 ABCD中，点E,F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ A B C D E R T F 提示：将几何问题转化为向量问题 2.应用向量知识证明三线共点、三点共线 例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 F A B C D E A B C D E H 分析一：设AD与BE交于H， 只要证CH⊥AB， 即高CF与CH重合， 即CF过点H 只须证 由此可设 如何证 ？ 利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。 2.应用向量知识证明三线共点、三点共线 例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 F A B C D E A B C D E H 设 例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 H F A B C D E 分析二：如图建立坐标系， 设A(0,a) B(b,0) C(c,0) 只要求出点H、F的坐标，就可求出 　、 　　的坐标进而确定 两向量共线，即三点共线。 再设H(0,m) F(x,y) 由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得： 可得： 例２、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 H F A B C D E 可得： 可得： 即 　　　　　而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点 CH CF // 练习２：如图已知△ABC两边AB、AC 的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P， 使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 A B C N M Q P 解：设 则 由此可得 练习２：如图已知△ABC两边AB、AC 的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P， 使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 A B C N M Q P 即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 因为： ３．应用向量知识证明等式、求值 例３、如图ABCD是正方形M是BC的中点， 将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF， 若正方形面积为16，求△AEM的面积 A B C D M N E F 分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2), N是AM的中点故N(2,1) =(2,1)-(e,0)=(2-e,1) 解得：e=2.5 故△AEM的面积为5 例３、如图ABCD是正方形M是BC的中点， 将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF， 若正方形面积为64， 求△AEM的面积． A B C D M N E F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得M(8,4)， N是AM的 中点，故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,1) 解得：e=5 即AE=5 练习３、PQ过△OAB的重心G， 且OP=mOA,OQ=nOB 求证： 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 O A