向量在立体几何中应用.ppt

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) [冲关锦囊] 1．用向量证明线面平行的方法有： (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量 线性表示． 2．用向量法证垂直问题 (1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0； (2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向 量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂 直； (3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0， 或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直. [精析考题] [例2] (2011·大纲版全国高考)如图，四棱 锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD， 侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2， CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值． 2．(2011·郑州质检)如图，正方 形ADEF和等腰梯形ABCD垂直， 已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°， BF⊥AC. (1)求证：AC⊥平面ABF； (2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值． 解：(1)证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， AF⊥AD，AF 平面ADEF， 所以AF⊥平面ABCD. 故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF∩BF＝F， 所以AC⊥平面ABF. 3.(2012·广州调研)如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2， AB＝1，BM⊥PD于点M. (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值． 解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A， ∴AB⊥平面PAD. ∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD， ∵BM⊥PD，AB∩BM＝B， ∴PD⊥平面ABM. ∵AM 平面ABM，∴AM⊥PD. [冲关锦囊] 2．利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向 量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量 与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角 就是斜线和平面的夹角. 解：如图，以D为坐标原点，线段 DA的长为单位长度，射线DA为x轴 的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz. [巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 4. 一个几何体是由如图所示的圆柱 ADD1A1和三棱锥E－ ABC组合 而成，点A、B、C在圆柱上底面 圆O的圆周上， 且BC过圆心O，EA⊥平面ABC. (1)求证：AC⊥BD； (2)求锐二面角A－BD－C的大小． 解：(1)证明：因为EA⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC. 又因为AC⊥AB，AB∩ED＝A， 所以AC⊥平面EBD. 因为BD 平面EBD， 所以AC⊥BD. * [明考纲?知考情] 考 什 么 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的垂直、平行关系． 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理)． 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问 题中的应用. 怎 么 考 从高考内容上来看，利用向量法求空间角的大小是命题的热点．题型多为解答题，难度中档．着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力. v1⊥v2 v1∥v2 n1⊥n2 n1∥n2 v⊥n v∥n 直线l1和AB 在该平面内的投影 直线l1和l2的夹角 〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉 答案：A 1．若直线a，b的方向向量分别为a＝(1，－1,2)， b＝(－2,2，－4)，则 (　　) A．a∥b或a与b重合　　　　　B．a⊥b C．a与b相交但不垂直 D．a与b异面但不垂直 解析：∵a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)， ∴b＝－2a， ∴a与b共线．即a∥ b或a与b重合． 2．(教材习题改编)已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为 (　　) A．－1,