四﹒平面及其方程.ppt

例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． 旋转双曲面 旋转椭球面 旋转抛物面 播放 定义： 3.柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 柱面举例 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 四、小结 思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ 思考题解答 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 1. 椭球面 椭球面与三个坐标面的交线： 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 2. 抛物面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. （2）用坐标面 与曲面相截 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 它的轴平行于 轴 顶点 （3）用坐标面 ， 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 时可类似讨论. z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面 （由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上. （ 与 同号） 双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论： 设 图形如下： x y z o 椭球面、抛物面、截痕法. （熟知这几个常见曲面的特性） 小结 思考题 方程 表示怎样的曲线？ 四、平面及其方程 介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。 确定一个平面及其方程最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。许多其它条件都可转化为此。 先介绍平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有 (一)、平面的点法式方程 平面的点法式方程 其中法向量 已知点 若取平面的另一法向量 此时由于 平面方程为 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 (二)、平面的一般方程与截距式 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 三个坐标平面方程分别为：z=0, x=0, y=0 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 例3 求过点 且平行于 z 轴的平面方程 解一 用点法式 设所求平面的法向量为 则 由点法式得，所求平面的方程为 即 解二 用一般式 因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为 在平面上 解得 所求平面方程为 即 一般地 过不共线的三点 的平面的法向量 平面方程为 ——三点式方程 解:(详见p42） 这就是点到平面距离公式 由以上几例可见，求平面方程的基本思路和 基本步骤：两