图论课件–平面性算法.ppt

* * 图论及其应用 应用数学学院 本次课主要内容 (一)、涉及算法的相关概念 (二)、平面性算法 平面性算法 关于图的平面性问题，我们建立了一些可平面性判定方法： (一)、涉及算法的相关概念 (1) 对于简单图G=(n, m)，如果m3n-6，则G是非可平面的； (2) 对于连通图G=(n, m)，如果每个面次数至少为l≥3,且m(n-2)l /(l-2)，则G是非可平面的； (3) 库拉托斯基定理：G是可平面的当且仅当G不含有与K5或K3,3同胚的子图； (4) 瓦格纳定理：G是可平面的当且仅当G不含有能够收缩成K5或K3,3的子图； 上面的方法，局限性很大。这次课我们将给出一个算法，其作用是：如果G非可平面，通过算法可以得到判定；如果G是可平面图，通过算法，可以给出一种平面嵌入形式。 定义1 设H是G的一个子图，在E(G)-E(H)中定义一个二元关系“ ~”: (1) e1与e2分别是W的始边和终边，且 (2) W与H的内点不能相交。 容易验证：上面的关系是E(G)-E(H)元间的等价关系。 定义2 设B是E(G)-E(H)关于二元关系“ ~” 的等价类在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。 例1 在下图中，红色边在G中导出子图为H。求出G关于H的所有桥。 G G B1 B2 B3 B4 定义3 设H是图G的可平面子图， 是H的一种平面嵌入。若G也是可平面图，且存在G的一个平面嵌入 ，且： 称 是G容许的。 例2 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取 容易知道： 是G容许的。 G 例3 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取 容易知道： 不 是G容许的。 定义4 设B是G中子图H的任意一座桥，若B对H的所有附着顶点都位于 的某个面f的边界上，则称B在面 f 内可画入，否则，称B在面 f 内不可画入。 对于G的桥B,令： 例4 红色边的导出子图是H,如果取 确定H的桥在 中可以画入的面集合。 B3 B2 B1 f3 f2 f1 G 解： 定理1 设 是G容许的，则对于H的每座桥B: 证明：因 是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌入 ，使得： 于是，H的桥B所对应的 的子图，必然限制在 的某个面内。所以： 注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H, 使得对于某桥B，有 ，那么，G是非可平面的。 根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G的平面性问题： 先取G的一个可平面子图H1, 其平面嵌入是 对于H1的每座桥B,如果： ，则G非可平面。 否则，取H1的桥B1,作：H2=B1∪H1,再取一个面 将B1画入 的面 f 中。 如果B1可平面，则只要把B1平面嵌入后，得到H2的平面嵌入 然后再进行上面相同的操作，可以得到G的边数递增的子图平面嵌入序列： 最终，得到可平面图G的一种平面嵌入形式。 (二)、平面性算法 1964年，Demoucron, Mlgrance和Pertuiset提出了下面的平面性算法，简称DMP算法。 设G是至少三个顶点的简单块。 (1) 取G的一个圈H1,求出H1的一个平面嵌入 。置i=1; (2) 若E(G)-E(Hi)=Φ,则停止；否则，确定G中Hi的所有桥，并对每座桥B，求出 ； (3) 若存在桥B,使得： ，则停止 (G不可平面) ；否则，在Hi的所有桥中确定一个使得 最小的B，并取 。 (4) 在桥B中取一条连接Hi中两个附着顶点的路Pi, 置Hi+1=Hi∪Pi,把Pi画在 的面 f 内,得到 (5) 置i=i+1转(2)。 例5 用平面性算法考察下图G的平面性。 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v8 v7 图G 解：(1) 取G的一个圈