7_1点估计案例.ppt

2. 最大似然估计法 例4．X~P（λ），求λ最大似然估计． 《概率统计》 下页 结束 返回 考试内容 点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计 考试要求 1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念． 2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法． 3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性． 4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间. 第七章 参数估计 一、参数的点估计 二、参数的区间估计 下页 第七章 参数估计 问题：若总体X的分布函数F(x)的类型已知，但它 的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数？ 想法：用X的一组样本观察值(x1,x2,…,xn)来估计总 体中未知参数的值,即用样本统计量的值估计总体中未 知参数的值. 引例 某厂生产的灯泡寿命X服从N(m,s 2), m, s为未知数， 现随机抽取10个进行试验，得数据（单位：h）如下： 试估计参数m , s. 由大数定律有 取值（即其一次实验值）来估计m .类似地，可用S2估计s 2. 即当n充分大时 与m 的“差别”很小 , 所以可以用 的一个 X1, X2, … , Xn, …相互独立，则X12, X22, …, Xn2, …相互独立 从而 估计量：设q为总体X的未知参数，用样本(X1,X2,…,Xn)构 成的一个统计量 来估计q的真值，称 为 q 的估计量. 参数的点估计(方法): 指用样本统计量的值估计未知参数 的值. 本节介绍 ① 矩估计法；② 最大似然估计法. 估计值：对应于样本的一组观测值(x1,x2,…,xn),估计量的 值 (x1,x2,…,xn)称为q的估计值，仍记作 . 下页 一、点估计的基本概念 二、求点估计的两种方法 下页 定义 用样本矩估计相应的总体矩，用样本矩函数估计总体 1.矩估计法 矩的同一函数的一种估计方法. 具体做法 常用 或 例1．设总体X~N(m , s 2 )，试求m , s 2的矩估计量. 解得m , s 2 的矩计量分别为 下页 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本， 由于 据矩估计法有 解得q1 , q2的矩估计量为 例2．设总体X~U[q1 , q2] ，试求q1 , q2的矩估计量. 下页 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本， 依题意知 据矩估计法有 说明 通常用S2 代替B2 . E(X)=q , 根据矩估计法有 (k=0,1,2…；0 q +∞) 同样，又由于 D(X)=q ， 故可得q 的另一个矩估计量为 由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的. 例3．设总体X服从参数为q 的泊松分布，即 问题：哪一个作为估计量更好呢？ 下页 试求 q 的矩估计量. 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本， 依题意知 最大似然原理：一个随机试验有若干种可能的结果A，B， C，…．若在一次试验中，结果 A 出现，则一般认为试验条件 对A出现有利，也即 A 出现的概率很大． 引例．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个红球1个 蓝球，乙箱有1个红球99个蓝球，今随机地取出一箱，再从该箱 中任取一球，结果取得红球，问这球是从哪一个箱子中取出的？ 解：从甲箱中取得红球的概率：P(红/甲) = 99/100； 从乙箱中取得红球的概率：P(红/乙) = 1/100. 显然，从甲箱中取得红球的概率，比从乙箱中取得红球的概率大 得多. 既然在一次抽样中取得红球，当然可以认为是从抽取概率大的 箱子中抽出的，故可作出统计推断：红球是从甲箱中取出的(合理). 这就是－最大似然原理！ 下页 设离散型总体X的分布列为p(x;q), (x1, x2, …, xn)为样本 问题转化为 {X1=x1, X2=x2, … , Xn=xn} 时， 达到最大值. 达到最大值 (X1, X2, …, Xn)的一组观测值，则事件 发生了，由最大似然原理 设总体X为连续型时，问题转化为q取何值时， 达到最大值. (2) 求最大似然估计步骤 写出似然函数; 称为q的似然函数. 使似然函数取得最大值的 称为q 的最大 似然估计值（量）. 这种方法称为最大似然估计法. (1) 似然函数 下页 取对数; 求导数; 由导数=0, 解得估计值. 设总体X的概率函数为