高数上册第1章第10节闭区间上连续函数的性质.ppt

函数与极限 一、有界性与最大值和最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值和最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、小结 思考题 【定义】 ［例如］① 【注意】 最值可以取在闭区间的端点处. ② ③ 【定理1】(有界性与最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且必取得它的最大值和最小值. 【注意】1.若区间是开区间,定理不一定成立;如图a 3.由此可知定理的条件是充分条件,不必要. 图a 图b 2.若区间内有间断点,定理不一定成立.如图b ①【定义】 ②【定理2】(零点定理): 1.零点定理 【作用】常用于判断方程有根 — 根的存在性. 即方程 f (x)= 0 在 (a,b) 内至少存在一个实根. ③【几何解释】 2、介值定理 ①定理3(介值定理): ②【几何解释】 【证】 由零点定理, M B C A m a b 则 ？ ③【推论】在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值 M 与最小值 m 之间的任何值. 【例1】 【证】 由零点定理, 【分析】至少有一根——存在性 【证】 设m=f(x1),M=f(x2),而 m≠M,在闭区间[x1,x2](或 [x2,x1])上应用介值定理，即可得证. 【补例2】 【证】 由零点定理, 【分析】 本题关键是寻求符合零点定理的函数来证明. 【注】 1.上面的 称为辅助函数. ①把结论中的 改写成 ②移项，使等式右边为0 ③令左边式子为 2.使用零点定理作辅助函数F(x)的一般作法： 则 即为所求的辅助函数. 3. 一定注意本节中的所有定理的条件都是充分条件. 三个定理 有界性与最值定理;介值定理;根的存在性定理. ［注意］　1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; * *