一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法技术总结.ppt

退出 返回 一阶常系数线性微分方程只有一个 中的各阶导函数幻化成 r 的各次幂函 将二阶线性常系数齐次方程 称为微分方程的特征多项式，特征多 如果特征根是复数，则二者必共轭， 用凑微分法可以证明，如果两特征根 不相等，则线性齐次方程的通解必为 若两特征根彼此相等，即 则齐次方程的通解必为 数所得到的二次三项式 项式的根称为微分方程的特征根。以 特征多项式作为标准函数的标准方程 特征根 r，二阶常系数线性微分方程 有两个特征根 当然必不相等。记两共轭之根为 称为微分方程的 特征方程。 退出 返回 例5-1 求下列微分方程的通解 解 的特征多项式 特征根为 方程的通解为 的特征多项式 特征根为 ∴齐次方程 依原方程构造特征多项式最容易 的特征多项式 特征根为 ∴齐次方程 出差错的是不求导数的未知函数项。 警示自己的口诀是：不求导数即求 零阶导数，r 的零次幂可视为无 r ！ ∴齐次 的通解为 的通解为 退出 返回 例5-2 求下列微分方程的通解 解 项式 特征根为 通解为 的特征多项式 特征根为 ∴齐次方程 的特征多项式 特征根为 ∴齐次方程 ∴ 齐次方程的 的通解为 的通解为 的特征多 特征根彼此相等时，写通解的方式 完全和不相等时 “ 走一样的程序 ”： 在两任意常数后写两个特征根对应 的指数复合函数解；检查此二解的指 数是否相同，一旦发现二者一模一样 就迅即任选其中的一项补乘以因子 x . 1 退出 返回 **例5-3 求二阶线性非齐次方程 解 ∵ 方程的特征多项式 特征根为 故原方程的通解为 的通解。 ∴ 对应齐次方程的通解为 退出 返回 **例5-4 求二阶线性非齐次方程 解 ∵ 方程的特征多项式 特征根为 故原方程的通解为 的通解。 ∴ 对应齐次方程的通解为 2 1 则 设 亦即 待定多项式 与特征多项式的取值 双双呈降阶排列 退出 返回 2 退出 返回 退出 返回 例6-1 求下列微分方程的通解 解 二阶常微方程的通解必含两个任意常数 三阶常微方程的通解必含三个任意常数 未知函数的导函数可以写成 等于某些已知函数的 典型简单常微方程之例 * * * 德国数学家 Leibniz 在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、纯粹和专有的功绩，那就正在这里。 ─F. 恩格斯 英国数学家Newton 微积分学创始人  The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions. （教育的真正目的是使人处于不断发问的状态） ------ Mandell Creighton（克莱顿） Brevity is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂） ------ William Shakespeare（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果） ------ Francis Hutcheson（哈奇森）  一位年迈的法国数学家说：“只有当你使数学变得如此明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理论才可以认为是完善的。” ------ D. Hilbert（希尔伯特） Brevity is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂） ------ William Shakespeare（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）