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* * * 有关概率的基础知识 徐汇区教师进修学院 黄 琰 排列和组合的概念 排列 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 所有这些不同的排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 用符号? 表示.? 　　=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=?n!/(n-m)!(规定0!=1).? * * 排列和组合的概念 组合 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组（不考虑排列次序），叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 所有这些不同的组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 用符号? 表示.?　　= /m! =?n!/m!(n-m)!.? * 排列和组合的概念 加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． * 排列和组合的概念 乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.  * 排列和组合的概念 这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． * 例1： 平面上有10个点，其中没有3点在同一直线上。问：（1）这些点可确定多少条不同的直线？（2）以这些点中的任一点为端点并过另一点可做多少条不同的射线？ 解：（1） =10×9÷2 =45（条） （2） =10×9=90（条） * * 例2： 从1到300的整数中，有多少种方法选出三个整数，使得它们的和能被3整除？ 解：先将这300个整数分成三组：（1）能被3整除的一组；（2）除以3余1的为一组；（3）除以3余2的为一组。那么每组有100个整数。 它们的和能被3整除的情况有两种：（1）如果三个整数都选自同一组；（2）如果每组选一个整数。 + + + 1003= 1485100 * * 概率的概念 概率就是某个事件发生的可能性的大小。 通常用大写字母A、B、C等表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率。 P(A) =0，表示事件A为不可能事件； P(A) =1，表示事件A为必然事件。 概率的数值均在0到1之间，即 0 ≤ P(A) ≤ 1. * 概率的概念 现实世界中存在着两种现象：一种是确定性现象，另一种是随机现象。 如果在一定条件下一定产生某种确定性结果，则称这种现象为确定性现象。 如果在一定条件下，可能出现的结果不止一个，至于出现哪一个结果，事先不能肯定，则称这种现象为随机现象。 概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。 * * * 随机现象无法预知其结果，且对于一次试验（为了叙述的方便，把条件每实现一次，叫做进行一次试验。例如对“掷一枚硬币，出现正面”这个现象来说，做一次试验就是将硬币抛掷一次。）其结果可能带有很大的偶然性，似乎并没有什么规律。但在大量的重复试验中，就可能会呈现出一定的规律性：有些现象发生的可能性大些，有些现象发生的可能性小些。我们称它为随机现象的统计规律性。 随机现象的统计规律性表现在：随机现象发生的次数与试验总次数的比值具有稳定性，即总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。在一个试验里，所有可能出现的结果假设有N次，而现象A出现的次数有a次，那么现象A出现的概率为a/N。这个定义，通常称为概率的统计定义。 随机现象 古典概率 设随机现象具有如下两个特征： 所有可能结果只有有限多个，即样本空间Ω是有限的。 每个样本点ω（即基本事件）的发生是等可能的。 称这种随机现象为古典模型。 * * * * *