高数经济数学——微积分(第二版)1_1.ppt

目录 上页 下页 目录 上页 下页 “高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系 第一章 函数与极限 一、集合 １．集合的概念 对于集合，我们并不陌生，通常把具有某种特定性质的事物的全体称为一个集合. 而把组成这个集合的每一个事物个体称为该集合的元素． 以下都可以作为集合的例子： 全体实数 全体有理数 全体 正整数 我们经常用到得都是数集——所有元素都是数的集合. 以下的一些数集是我们经常用到的： 全体非负整数的集合： 全体正整数的集合： 全体整数的集合： 全体有理数的集合： 全体实数的集合： 数集间的关系: 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 半开半闭区间： 无穷区间： 用图表示更清楚 3 邻域： 去心邻域： 的左 邻域 的右 邻域 试着在图中表示出来. 二、函数的概念 定义1 设D是一个非空实数集，若存在对应关系f，对 D中任意实数 x，依照对应关系f ，都有唯一的实数 y与之对应，则称 f 是定义在 D上的函数，记作 与实数 x0 对应的实数 y0称为函数在点x0处的值，简称函数值，记作 或 . 数集D称为函数 f 的定义域，函数值的集合 称为函数 f 的值域． x称作自变量, y称作因变量． 讨论：定义中有哪些关键词？决定一个函数有哪些主要因素？ 答： 1. 定义域、对应关系是确定函数的两大要素。 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数． 函数定义域的确定： （1）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合. （2）有实际意义的函数，根据实际意义确定. 例1 Gauss函数，不超过自变量的最大整数 几个特殊的函数举例 阶梯曲线 答 如 ? ? ? ? 例2 符号函数 例3 分段函数 例4 Dirichlet函数 自变量在不同范围内取值时，函数表达式可能不同，这样的函数 称为分段函数。 曲线的极坐标方程 “三毛在你东偏北60度”你是否能够准确地确定对方的位置？ 从该例可以看出，我们不仅可以利用平面直角坐标系的坐标确定一个点．还可以利用距离和角度这样一组数来确定一个点． 你 从平面中的一个点 出发作一条射线 ， 再选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向）， 点 称为极点．射线 称为极轴. 再知道“他距离你50公里”，能确定他的位置了吗？ 这就是极坐标系， 点P 到极点的距离r，称为点P的极径； 因此在极坐标系下，平面上任一点P（除极点外）都可以与一个二元有序数组 建立一一对应关系．称二元有序数组 为点P的极坐标. 给定平面中的一个点（非原点）都可以确定一对数与它对应： 例如：图中的M 也可以记作 （当 时）. 可以记为 （当 时）； 极轴到射线 的转角 ， 称为点P的极角， 规定 （或 ）． → 注：极点 是唯一极坐标不确定的点，其极径 ，极角可以任意取值． 讨论： 在极坐标系下分别是什么图形？ 答： ：射线 ：半径为a的圆 将直角坐标系与极坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合， 你能给出极坐标与直角坐标之间的转化关系吗？ 那么 则极坐标与直角坐标之间的转化关系为： 利用极坐标可以建立平面中的图形与方程间的一一对应． 例： 方程 表示以极点 为中心、半径为2的圆； 一般极坐标系下的曲线方程可以表示为 或 ，由后者可以看出 是 的函数. 答： 将 带入到极坐标方程 中，得 方程 用极坐标表示就是 将 带入到直角坐标方程 中，得 你能用直角坐标系和极坐标系之间的关系