李建锋1–4角平分线新.ppt

第一章 三角形的证明 1.4 角平分线 北师大版八年级下册 姓名:李建锋 单位:中牟县第五初级中学 　 什么是角平分线？角平分线有什么性质? 时光倒流 回顾思考 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 你能证明它吗？ 2 1 E D C P O B A ) ) 学习目标： 1.理解并掌握角平分线的性质定理； 2.理解并掌握角平分线的判定定理； 3.会用上述定理解决一些简单的实际问题。 相信自己 探究尝试 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E . 求证：PD=PE． 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E ∴ ∠PDO=∠PEO=90°， ∵∠1=∠2，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) 2 1 E D C P O B A ) ) 角平分线的性质定理 　　角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等． 2 1 E D C P O B A ) ) 几何语言： ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 你会用吗? 巩固训练. 已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证:EB=FC. B A E D C F 用心想一想 　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 你能写出角平分线性质定理的逆命题吗? 　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 　　角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上． 这是一个真命题吗? 用心想一想，马到功成 已知：点P为 ∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE， 求证：OP平分∠AOB ． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， 　　　∴∠PDO=∠ PEO=90°． 　　　∵ OP=OP，PD=PE 　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL) 　　　∴∠1=∠2 ∴OP平分∠AOB ． 2 1 E D C P O B A ） ） 角平分线的判定定理 几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。 　 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上． O B A C D E P ) ) 　 例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长. 典型例析 解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5. 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上， 若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE， 则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC， PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= ，则PE=____. （1） （2） （3） 课堂检测 4.如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于DCE⊥OB 于E，CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度. 5.如图（5），OM是∠ POQ的平分线 , MP⊥OP ， MQ⊥OQ, S△POM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=_ cm. （4） （5） 6.如图，AD为△ABC的角平分线, ∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE =DC.求证：BE=CF （第6题 ） 课堂小结： (一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 课后作业 课本第30页习题1.9第2、3题