概率论和数理统计7.27.3.ppt

从而得 的 置信区间为 下面求正态总体的方差之比 的区间估计。 四、两个正态总体方差比的置信区间 设两个正态总体X和Y， 是分别从总体X和总体Y中抽取的两个独立样本 及 分别为两个样本的均值和方差。 由抽样分布知 和 又两个样本相互独立，由F分布的定义有 对于给定的 ，由F分布表查得 使得 则 即 所以 的 置信区间为 以上介绍了一些常用的置信区间，下面我们给出非正态总体参数估计的一个例子： 总体服从（0-1）分布，因此总体均值 总体方差 设 为从总体X中抽取的容量为n（n30)的样本，由中心极限定理有 解 其中 为未知参数，求 的 置信区间。 例 设总体X服从（0-1）分布，X的分布 列为： 近似地服从标准正态分布 ，由正态分 布表查得 ，使得 即 其中 所以 的近似的 置信区间为 第二节 估计量的评选标准 一、无偏估计 定义： 是 的一个估计量，如果 成立，则称 是 的一个无偏估计量。 的估计量 是样本 的函数，对于不同的观察值， 求得的值不同， 因此， 的取值不一定等于所要估计的参数 但从平均意义上讲，应该等于所估计的参数 未知参数 例1 设 是来自总体X的样本， 总体的数学期望 未知，试问样本均值 是否为 的无偏估计量。 因为 所以， 是总体数学期望的无偏估计量。 解 设总体的数学期望为 ,则 例2 设 是来自总体X的样本， 总体的方差 未知，用样本的二阶 作为总体方差的估计， 中心矩 是否为无偏估计。 解 所以，样本的二阶中心矩不是总体方差的无偏估计。 定义：设 都是未知参数 的无偏估计 若 ,则称估计量 较 有效。 但任意一个无偏估计的方差不可能无限制 地小，在样本容量一定时，它有一个下限值。 设总体X的概率密度函数为 样本容量为n 是未知参数 的一个无偏估计。 则 为参数 的无偏 估计的下界。 二、有效估计 若 的无偏估计 满足 则称 为 的有效估计。 例3 总体数学期望 的无偏估计 中，哪一个估计量最有效？ 解 比较上述估计量的方差，可见 最小，所以 最有效。 例4 设总体X服从参数为 的泊松分布，试 证： 是 的有效估计。 证明 由题可知X的分布列为 由概率知识可知 ，则样本均值 是总体数学期望的无偏估计。又 对参数求偏导数得 则 又 故 是未知参数 的有效估计。 因此，的无偏估计方差下界为 所以 三、一致估计 定义 设 为未知参数 的估计量，若对任意的正数 有 则称 为 的一致估计。 例 证明样本均值 是总体均值 的一致估计 证明 设 由大数定理可知: 总结：从统计方法要求来看，我们自然要求一个估计量具有一致性，然而，用一致性来评价估计量好坏时，要求样本容量充分地大，但这一点在实际中往往办不到。无偏性直观、简便，但它不能体现与真值的偏离程度。有效性无论在直观上或理论上都比较合理。所以在使用上，这是用得比较多的一个评价标准。 所以，样本均值是总体均值的一致估计。 第三节 区间估计 且 若对于给定的 有 则称随机区间 是参数 的 的置信区间或区间估计， 分别称为 定义 设总体X的分布中含有未知参数 为从总体X中抽取的容量为n 的样本，由样本构造两统计量。 及 设总体 是它 的一个样本，求 的 置信区间。 1、方差 已知时，均值 的区间估计 的置信下限和置信上限， 称为置信水平 或置信度或置信概率。 真值的仅有1个。 由定义表达的实际意义：若 反复抽样100次，得到100个相应区间，其中不含 一、正态总体均值的区间估计 的估计量 有 故随机变量 即 由正态分布的对称性及分位数的定义，对给定 的 从正态分布表可查得相应分位 数 使 于是有 因此，参数 的置信度是 的置信区间为 总结：1、置信度越大，置信区间越宽，降低了 精度。应适当选取 。 2、当X非正态总体时，在大样本下仍然 可用上述区间作为 的置信区间。 中心极限定理 例1 某厂生产滚珠，从某天生产的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位： ）： 14.6 , 15.1,14.9,14.8,15.2,15.1 并知道滚珠的直径 ,求平均直 径 的 置信区间。 由正态分布表查得 使得 解: 这是一个正态总体,已知方差,由前面结 论即可求出置信区间 由样本观察值得 置信下限: 置信上限: 因此, 的置信度为0.95的置信区间是