正余弦定理复习教学课件.ppt

正弦定理、余弦定理 1．正弦定理、余弦定理及相关知识 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ ． 内容 余弦定理 正弦定理 定理 b2＋c2－2bc·cosA c2＋a2－2ca·cosB a2＋b2－2ab·cosC cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ . ①a＝ ，b＝ ，c＝ ； ②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ； (其中R是△ABC外接圆的半径) ③a∶b∶c＝ ； ④asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A. 变形形式 2RsinA 2RsinB 2RsinC sinA∶sinB∶sinC ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. 解决解斜 三角形的 问题 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 无解 一解 一解 两解 一解 解的个数 a≤b ab a≥b bsin Aab a＝bsin A 关系式 图　形 A为钝角或直角 A为锐角 △ABC中的常用结论 ①A+B+C= ②A、B、C成等差数列的充要条件是B＝60°； ③S△= ④ab?AB?sin Asin B； 【知识拓展】 ⑤在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB0.简证如下：C有解?(A＋B)有解?0A＋Bπ?0Aπ－Bπ?cos Acos(π－B)?cos A－cos B?cos A＋cos B0.因此判断C是否有解，只需考虑cos A＋cos B的符号即可． (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，cos ＝sin . (3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边． 1．(苏州市高三教学调研考试)在△ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2＝(b＋c)2－bc，则A的大小等于________． 解析：根据余弦定理得cos A＝ ， ∴A＝ 答案： 2．(2010·东台中学高三诊断)若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于________． 答案：60° 3．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝2 ， 则此三角形有________个解． 解析：∵A＝60°，c＝4，a＝2 ， ∴由正弦定理得： ，即 ∴sin C＝1.又∵0°C180°，∴C＝90°，B＝30°. 因此三角形只有一个解． 答案：一 在△ABC中，已知acos A＝bcos B，则△ABC的形状为________． 解析：由已知acos A＝bcos B得 ，又由正弦定理，得 所以 ，整理得：sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B. 因为A、B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝ ，即△ABC为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形 4． 5．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则该三角形的形状是________． 解析：由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，由sin A，sin B，sin C成等比数列得sin2B＝sin Asin C，所以由正弦定理得b2＝ac. ?a＝c，所以a＝b＝c，所以三角形