5.4复合函数微分与隐函数微分范例.ppt

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* 一. 全 导 数 多元函数经复合运算后, 一般仍 是多元函数, 但也可能成为一元函数. 按前面关于多元函数的讨论方法, 复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始. 这就是全导数问题. 多元复合函数微分法 定理(全导数公式) + 全导数公式图示 定理(全导数公式) 设 , 求 令 则 例 解 设以下函数满足定理的条件, 写出二元和三元函数的全导数公式: 请同学自己写 例 开始对答案 你做对了吗 ? 二. 链导法则 一般多元复合函数的求导法则 假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面的导数: 将 y 看成常数 将 x 看成常数 分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数. 从上面的作法可以看出, 将复合的多元函 求函数偏导数. 全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是 数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用 你能由此得出多元复合函数 的求导法则吗 ? 定理 设 在点 对应点 可微, 则复合函数 在点 处可导, 且 处均可导, 且 在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数 定理 设 在点 对应点 可微, 则复合函数 在点 处可导, 且 处均可导, 且 在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数 该定理可视为全导数定理的推广: 看成常数,运用全导数公式, 将求导记号作相应改变即可证明该定理. 将诸 设 满足 定理的条件, 则有 例 设 求 例 解 设 求 例 解 设 求 令 则 关于 u 的 一元函数 例 解 设 求 自己做 例 解 设 其中 求 令 则 例 解 隐函数的微分法 与一元函数的情形类似, 多元函数也有隐函数. 如果在方程式 中, 时, 相应地总有满足 该方程的唯一的 z 值存在, 则称该方 程在 ? 内确定隐函数 注意, 隐函数不一定都能显化. 隐函数(二元)的概念 如果在方程式 中, 时, 相应地总有满足该 在 ? 内确定隐函数 方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程 将概念推广到一般情形 一. 一元函数的 隐函数的求导法 利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式 设 确定隐函数 两边关于 x 求导, 得 若 则对方程 从而得到一元隐函数求导公式 设 求 令 则 故 , 例 解 多元隐函数 的导数 一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数 二. 由一个方程确定 的隐函数的求导法 定理 (隐函数存在定理) 设 1. 2. 3. 则方程 在 内唯一 确定一个函数 且 隐函数存在的条件 * * * 求函数的全导数实质上就是求一元函数的导数。 同学自己做。 定理的证明:实际上这是全导数定理的推广: 将诸xk(k?j)看成常数,运用全导数公式,求导记号作相应改变即可。 定理的证明:实际上这是全导数定理的推广: 将诸xk(k?j)看成常数,运用全导数公式,求导记号作相应改变即可。 定理的证明:实际上这是全导数定理的推广: 将诸xk(k?j)看成常数,运用全导数公式,求导记号作相应改变即可。 该定理不予证明,因为超纲。 该定理不予证明,因为超纲。

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