6.1二元函数的偏导数与全微分范例.ppt

上页 下页 返回 §6.1 二元函数的偏导数与全微分 一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 一、偏导数 1、偏导数的定义 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如函数 在点 处 例1 求 解法1 解法2 在点(1 , 2)处的偏导数. 偏导数记号是一个 例2 已知理想气体的状态方程 求证: 证 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 2.偏导数的几何意义 如图 （1）几何意义: （2）偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 则称它们是z = f (x , y) 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如， z = f (x , y)关于x 的三阶偏导数为 z = f (x , y)关于x的 n –1 阶偏导数 , 再关于y 的一阶 偏导数为 第二、三个偏导数称为混合偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 例4 求函数 解 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 问题 例如, 对三元函数u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 证 三、全微分 全增量 定义2 如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y ) 可表示成 其中A , B不依赖于? x , ? y ,仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y )在点( x, y) 可微， 的全增量 则称此函数在D 内可微. 证 “可微”与“连续”的关系？ “可微”与“偏导数存在”的关系？ 上页 下页 返回