6.3二元函数微分法的应用范例.ppt

一、二元函数的极值 二、条件极值与拉格朗日乘数法 6.3 二元函数微分法的应用 实例：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是 求两种产品各生产多少，工厂可以取得最大利润 求最大利润即为求二元函数的最大值. I、问题的提出 一. 二元函数的极值 定义 6.3.1 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义， 如果对于该邻域内异于 ( x0 , y0 ) 的点 ( x , y ) 都有 (或 )， 极大值和极小值统称为极值. 则称 f (x0 , y0) 为函数 f (x , y ) 的极大值(或极小值). 设函数 z = f (x , y )在点 P0( x0 , y0 ) 的偏导数 极大值点和极小值点统称为极值点. 称为极大值点(或极小值点)， 使函数取得极大值的点(或极小值的点)(x0 , y0)， 定理 6.3.1 (极值存在的必要条件) 且在点 P0 处有极值， 则在该点的偏导数必为 零， 即 存在， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 Problem：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注 意 在点 (0,0) 有极大值, (0,0)不是驻点 定理 6.3.2(极值存在的充分条件) 令 则， (1) 当 P0 且 A 0 时, f(x0, y0) 是极大值， 当 P 0 且 A 0 时， f(x0, y0) 是极小值； 也可能没有极值. 函数 f ( x , y ) 在点 P0(x0 , y0 )可能有极值， (3) 当 P=0 时， (2) 当 P 0 时，不取极值； (1) 先求偏导数 (2) 解方程组 求出驻点； (3) 确定驻点处 据此判断出极值点， 并求出极值. 若函数 z = f (x , y) 的二阶偏导数连续， 就可以按照下列步骤求该函数的极值： 及 的符号， 的值 例 1 求函数 的极值. 解 (1) 求偏导数 (2) 解方程组 得驻点 (0, 0) 及 (2, 2) . (3) 列表判断极值点. 驻点(x0, y0) (0, 0) (2, 2) 结 论 极大值 f (0, 0) = 1 f(2, 2) 不是极值 A 4 B 2 2 C + 例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. (1)在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 (3)在点(?3,0) 处 不是极值; (4)在点(?3,2) 处 为极大值. (2)在点(1,2) 处 不是极值; 二、最大、最小值应用问题(Applications) 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值 为最小 值 (大) (大) 例3：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是 求两种产品各生产多少，工厂