6-1一元线性回归范例.ppt

* F检验法 对检验水平?，查表得F?(1,n-2)， 计算出F值。 若FF?(1,n-2) ，则拒绝H0 ，说明回归效果显著； 若FF?(1,n-2) ，则接受H0 ，说明回归效果不显著。 * 例 为研究某一化学反应过程中温度x对产品得率Y的影响，测得数据如下： (1)求Y关于x的回归方程; (2)求?2的无偏估计量的值; (3)取? =0.05,问回归效果是否显著？若显著,求出b的置信度为0.95的置信区间； (4)作方差分析，检验回归效果(? =0.01)。 温度x ?C 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率Y % 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 * 解 (1)先画出散点图，从图看出，?(x)大致是线性函数，设?(x) =a+bx 这里n=10，为求线性回归方程，对所需要的计算列表： * i xi yi xi2 yi2 xiyi 1 100 45 10000 2025 4500 2 110 51 12100 2601 5610 3 120 54 14400 2916 6480 4 130 61 16900 3721 7930 5 140 66 19600 4356 9240 6 150 70 22500 4900 10500 7 160 74 25600 5476 11840 8 170 78 28900 6084 13260 9 180 85 32400 7225 15300 10 190 89 36100 7921 16910 ? 1450 673 218500 47225 101570 * * 所以得回归直线方程为 写成另一种形式 (2) * 这里45.3942.306，即|t|值在H0的拒绝域内，故拒绝H0 ，说明回归效果是显著的。 b的置信度为0.95(?=0.05)的置信区间为 (3)已求出 又 * 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 回归 1924.6 1 1924.6 2047.4 残差 7.466 8 0.94 总和 1932.1 9 (4)已求出 列方差分析表 对? = 0.01，查出F0.01(1,8) = 11.26 因为2047.3 11.26，所以回归效果非常显著的。 * 是Y对x的依赖关系的一个估计。对给定的x值，用回归方程确定Y的值，叫预测。 1.4 利用回归方程进行预测 回归问题中Y是随机变量，x是普通变量。 回归方程 * 1.4 利用回归方程进行预测 1）点预测 回归方程为 对任给 x = x0，用 作Y的预报值 这就是点预测。 记为 * 2）区间预测 给定x=x0，Y的取值有一个置信度为1-?的范围，即置信区间，称为预报区间。 设在 x = x0 处对随机变量Y的观察结果为y0 * 在x=x0处， y0 预报值为 可以证明 * * 区间预测 对于给定的置信度1-?，有 其中 由此得出y0的置信度为(1-?)的预报区间为 * 对任意的x，回归直线 y的下限： y的上限： * 当样本容量n较大时，若取x0在x附近， y0的置信度为1-?的预报区间为 * 1.5 控制问题 要求y 以置信度1-?在 内取值 x控制在 内 使其中的x所对应的观察值y满足 * 控制问题 * 对给出的 以置信度1-?,有 由此解出的x，记为x?1 ， x?2 当样本容量n较大时 若取x0在x附近，则 所以 * 解出 武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青 * 5 多元线性回归分析 §1 一元线性回归分析 §2 多元线性回归分析 §3 最优回归方程的选取 §4 可线性化的非线性回归 * 引 言 现实世界中，某个变量与其他一个或多个变量之间常存在着一定的关系.一般来说,变量之间的关系可分为两类：一类是确定性关系,确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达；另一类是非确定性关系，有些变量之间的关系是非确定性的关系，这种关系无法用一个精确的函数式来表示.例如，农作物的单位面积产量与施肥量之间有密切的关系，但是不能由施肥量精确知道单位面积产量，这是因为单位面积产量还受到许多其他因素及一些无法控制的随机因素的影响.又如，人的身高与体重之间存在一种关系，一般来说，人身高越高，体重越大，但同样高度的人，体重却往往不同.这种变量之间的不确定性关系称之为相关关系. * 对于具有相关关系的变量，虽然不能找到他们之间的确定表达式，但是通过大量的观测数据，可以发现他们之间存在一定的统计规律，数理统计中研究变量之间相关关系的一种有效方法就是回归分析.“回归”（regression）一词是英国学者Francis Galton于