6-3泰勒公式范例.ppt

* * * * §3 泰勒公式 第六章 微分中值定理及其应用 问题的提出 不足 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 一次多项式 常数 问题 1.设f(x)在x0处连续，则有 f(x)≈f(x0). 2.设f(x)在x0处可导，则有 第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式 一 泰勒公式 即 或 第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式 只需证 因为由（1）式， 证 设 则当 连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到 也不能说明 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式. 处满足 (4) 但是当 n 1 时, 不是 f (x) 在点　　　的 n 阶泰勒多项式, 原因是 f (x) 在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存 比如 在,所以无法构造 n 阶多项式. 注1 附近满足 注3 可以证明对任意一个n 次多项式 存在 使得 这也就是说, 是逼近 的最佳 n 次多项式. 注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多 项式 ( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足: 称为(带有佩亚诺型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式. 例1(P136) 验证下列函数的麦克劳林公式： 于是 n 阶麦克劳林公式为 证 这里仅验证 1 和 6, 其余请读者自己验证. 验证 1 因为 所以 验证 6 设 则 故 于是 注(补充) 公式(5)有几个常用形式 前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是 下面是一个定量形式的泰勒公式. 我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为 有限增量公式的一个推广,它只是定性地的告诉 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 证 作辅助函数 由柯西中值定理，有 上式最左右两端展开即须证的(7)式. 第六章微分中值定理及其应用§3泰勒公式 称为(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式. 例1(P270) 将例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型 余项的形式. 解 第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式 解 解 因此 下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限. 例4 求 解 因为 本题虽然可用洛必达法则来求, 但上面的方法比 所以 较简单 . 解 因而求得 * * * * * * * * * * * * * * * * * *