6-3信号范例.ppt

§6-3 逆 Z变换 一、 幂级数展开法 部分分式展开法 围线（反演）积分法（留数法） 当F(Z)Z k-1含有实数Z=r的单极点时 当F(Z)Z k-1含有实数Z=r的二重极点时 当F(Z)Z k-1含有实数Z=r的m重极点时 §6-3 逆 Z变换 一、幂级数展开法 例 6-14 例 6-15 二. 部分分式展开法 例 6-16 三. 围线积分法（留数法） 1. 当F(Z)Z k-1含有实数单极点r1, r2, r3,……时， 例 6-17 例 6-18 2. 当F(Z)Z k-1含有实数Z=r的二重极点时 例 6-19 3.当F(Z)Z k-1含有某一实数 Z = rk 的 m 重极点时 例 6-20 习题： （Z反变换） 6-9，6-11 * 知道了F(Z)求f(k),便是求Z反变换，记作 F(Z)与f(k)构成Z变换对。本课程仅限于单边的Z反变换 一般说来，求解Z反变换的方法有三种： 幂级数展开法、部分分式展开法和围线积分法（留数法）。 又称Z反变换。 若知道 F(Z) 的幂级数的形式，则对照之下，取序列和式的 (Z-1)n的系数列成序，即可求出 f(k)。 则 例如 解： 长除法 采用幂级数展开法求解Z反变换，适合计算机求解，但是一般情况下f(k)难以归纳成数学解析式。只有个别特例，如上例可写为 则可将 展开为标准形式 再利用典型的指数序列Z变换公式 求得反变换。为什么不是展开 F(Z) 呢？这是因为无论 ε(k) 或 rkε(k) 的 Z 变换分子均含有 Z , 即 和 而部分分式展开出来的一般式的分子不含Z，按上述分式 展开能确保 F(Z) 的展开式里含有Z , 从而与一般典型信号的Z变换保持一致。 如果Z域函数式 有实数单极点r1 , r2 , r3 ,…… 例如，若 则 若 则 待定常数的确定： 再例如 则 已知 求 f(k)。 解： 如果上式中 rn 为虚根，仍可跟实根一样地应用上述变换。 在Z平面上F(Z)的收敛域是以R 为半径的圆以外区域 ，在这个区域 里选一条包含圆点逆时针 方向旋转 的围线C（如图所示）。 将上式两边同时乘以 Z n-1 , 然后在围 线C上沿逆时针方向作线积分，得 将积分与求和符号的次序互换，得 根据复变函数的柯西积分定理 因此上述积分的右端，除了m=n–k = 0 , 即 n = k 项以外，其余项均为零 ; 等式左端的Zn-1=Zk-1 , 所以上式变为 包括圆点 即 这就是F(Z) 的Z反变换的围线积分(留数)表达式。 留数定理: 积分 , 可表示为围线 C 内所包含F(Z)Z k-1的各极点的留数之和，即 已知 求 f(k) 。 解： 当F(Z)能够消除 Zk-1 中的 Z-1 时对应的留数反变换从 k?0 启始，即后缀 ε(k)；若不能消除 Z-1 ，则留数反变换从 k?1 启始，后缀加 ε(k-1)，另外将 k=0 时的留数单独考虑，最后求和。 已知 求 f (k)。 解： 由于F(Z)分子含有常数项+1，无法消除Z-1，故留数序列范围选k?1，即ε(k-1)。 （1）当k=0时， 具有三个 极点，Z=0, Z=0.5, Z=1, 此时留数为 此时 （2）当k=0时，由初值定理 叠加得 已知 求 f (k)。 解： 已知