7_1代数结构范例.ppt

第七章 代数系统 定义7.6.2 设 G,?为一群。若 G为有限集，则称G,?为有限群（finite group）, 此时G的元素个数也称G的阶(order),记为|G|；否则，称G,? 为无限群（infinite group）。 例题7.6.1中所述的R, ★就是一个有限群，且|R|=6。 【例7.6.2】 试验证代数系统I，+是一个群，这里I是所有整数的集合，+是普通加法运算。 解 明显地，二元运算+在I上是封闭的且是可结合的。幺元是0。对于任一a?A，它的逆元是-a。所以I，+是一个群，且是一个无限群。 定理7.6.1 设G，?为群，那么当G ≠{e}时, G无零元。即群中不可能有零元。 证明: 因当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元e 。设|G|1 且群有零元。那么群中任何元素x ?G，都有 x ? ? = ? ? x = ? ≠ e， 所以，零元?就不存在逆元，与G，?是群的假设矛盾。 由定理可知，群中任何一个元素的逆元必定是唯一的。由群中逆元的唯一性，我们可以有以下几个定理。 定理7.6.2 设G，?为群，对于a,b?G，必存在x?G ，使得关于x的方程a?x＝b，x?a＝b都有唯一。 证明: 1）先证解存在性 设a的逆元a-1，令 x = a-1 ? b （构造一个解） a?x＝ a? （ a-1 ? b ） ＝（ a ? a-1 ） ? b ＝ e ? b ＝ b 2）再证解唯一性 若另有解x1满足a? x1 ＝ b ，则 a-1 ? （a? x1）＝ a-1 ? b x1 ＝ a-1 ? b 定理7.6.3 设G，?为群，那么，对任意a,b,c?G a?b = a?c 蕴涵 b = c b?a = c?a 蕴涵 b = c G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立。 证明: 设a?b＝a?c,且a的逆元a-1，则有 a-1?（ a ? b ）＝ a-1?（ a ? c ） e ? b ＝ e ? c b ＝ c 同理可证第二式。 定义7.6.3 设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 譬如，对于集合S={a,b,c,d}，将a映射到b，b映射到d，c映射到a，d 映射到c是一个从S到S上的一个一对一映射，这个置换可以表示为 即上一行中按任何次序写出集合中的全部元素，而在下一行中写每个对应元素的象。 定理7.6.4 设G，?为群，那么，运算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置换。 证明: 先证G中每一个元素只出现一次 用反证法：设a对应行有两个元素b1、b2对应的都是c, 即a?b1＝a?b2＝c,且b1≠b2 由可约性得b1＝b2 与假设矛盾。 再证G中每一个元素必出现一次 对于元素a?G的那一行，设b是G中的任意一个元素，由于b=a?（a-1?b），所以b必定出现在对应于a的那一行。 再由运算表中任何两行或两列都是不相同的。得出要证的结论。对列的证明过程类似。 定理7.6.5 在群G，?中，除幺元e之外，不可能有任何别的等幂元。 定义7.6.4设G，?为代数系统，如果存在a?G，有a ? a= a ，则称 a为等幂元。 证明: 因为e ? e = e ，所以e是等幂元。 现设 a?G， a≠e 且 a ? a= a 则有 a=e?a=(a-1?a)?a =a-1?(a?a)=a-1?a=e 与假设 a≠e 且矛盾。 二、子群 定义7.6.5 设G，?为群。如果S是G的非空子集 ，如果S，?为一群，则称S，?是G，?的子群(subgroups)。 定理7.6.6 设G,?为群，S,?为G,?的子群，那么， G,?中的幺元e必定也是S,?中的幺元 。 证明: 设S,?中的幺元为e1