7-3三重积分范例.ppt

第三节 三重积分的计算 一、三重积分的定义 二、利用直角坐标计算三重积分1、坐标面投影法 2、坐标轴投影法(截面法) 3、利用对称性化简三重积分计算 三、利用柱面坐标计算三重积分 四、利用球面坐标计算三重积分 五、小结 　　如图，柱面坐标系中的体积元素为 解 知交线为 例3 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， 解 注： S r M ? y z x 0 r =常数: ? =常数: 球面S 动点M(r,?,?) 球面坐标的坐标面 球面坐标的坐标面 ? C r =常数: ? =常数: S 球面S 半平面P 动点M(r,?,?) M ? y z x 0 ? P ? =常数: 锥面C . 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， r ? ? dr d ? rsin? x z y 0 圆锥面? rd? 球面r 圆锥面? +d ? 球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成： d? rsin? d? 半平面? 及? +d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面? 及? +d ? 球面坐标下的体积元素 r ? ? dr d? x z y 0 d ? rd? 元素区域由六个坐标面围成： rsin? d? 球面坐标下的体积元素 . 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r 2 sin? drd?d? dV dV = 球面坐标系中的体积元素为 如图， 解 * 一、三重积分的定义 二、利用直角坐标计算三重积分 三、利用柱面坐标计算三重积分 四、利用球面坐标计算三重积分 (1) 三重积分的存在性： (2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义. 性质１ (线性性质) 性质2 (对区域具有可加性) 性质４ 性质５ 则有 若在D上有 (3) 绝对可积性 若在D上有 则有 (2) 单调性 (1) 正性 性质6 （三重积分中值定理） 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 得 注意 这种方法称为坐标面投影法. 解 故 ： 解 如图， 解 如图, 坐标轴投影法(截面法)的一般步骤: 解 原式 解 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性． 解 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数, 例7 解 规定： 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 设是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，,，其中表示第个小闭区域，也表示它的体积,在每个上任取一点作乘积，，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的三重积分，记为, 即 . 三重积分记为 . 当在闭区域上连续时，则在上的三重积分一定存在. 设表示某物体在点处的体密度，是该物体所占有的空间区域， 在上连续，则该物体的质量M为： 设函数在闭区域上连续，为 的面积，则在上至少存在一点使得 例1 化三重积分 为三次积分，其中积分区域为由曲面 及所围成的闭区域. 由, 得交线投影区域 化三重积分 为三 次积分，其中 积分区域 为由曲面, ,, 所围 成的空间闭区域. . 例3 计算三重积分，其中由曲面，，所围成. 将投影到平面得 , 先对积分， 再求上二重积分, (1) 把积分区域向某轴（例如 轴）投影，得投影区间 ； (3) 计算二重积分 其结果为 的函数； (2) 对用过轴且平行平面的平面去截，得截面; (4) 最后计算单积分即得三重积分值. 例4 计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域. 解（一） 原式. 解（二） . 例5 计算三重积分，其中 是由椭球面所成的空间闭区域. * * * * 原式 例6 计算 ， 其中是曲线 ， 绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体. 由 绕 轴旋转得， 旋转抛物面方程为 例6 利用对称性简化计算 其中积分区域. 例1 计算，其中 由 与 所围的立体. 例2 计算，其中是球面 与抛物面 所围的立体. 由 例4　计算 ， 其中是曲线 ， 绕轴旋转一周而成的曲面与两平面所围的立体. 由 绕 轴旋转得， 旋转面方程为 原式. 例5 计算其中是由抛物面 和球面所围成的空间闭区域. 其中是关于的奇函数, 且关于面对称, , 同理 是关于的奇函数, 且关于面对称, 由对称性知 , 则 在柱面坐标下： 投影区域 ：