8.4偏导数与全微分范例.ppt

二元函数z=f(x,y)连续、偏导数存在与可微三者的关系： 函数连续 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 反例: 函数 易知 则 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 偏导数存在函数不一定可微 ! 二元函数z=f(x,y)连续、偏导数存在与可微三者的关系： 函数连续 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 例11. 若考虑二元函数在一点处的以下性质： （1）连续 （2）两个偏导数连续 （3）可微 （4）两个偏导数存在 则下列正确的是（ ） （A）（2）（3）（1） （B）（3）（2）（1） （C）（3）（4）（1） （D）（3）（1）（4） （二）全微分在近似计算中的应用 由全微分定义 可知当 较小时, 及 有近似公式: 或 ?z ?fx?(x, y)?x?fy?(x, y)?y f (x??x, y??y)?f(x, y)?fx?(x, y)?x?fy?(x, y)?y 解? 例12? 要造一个无盖的圆柱形水槽? 其内半径为2米? 高为4米? 厚度均为0?01米? 求需用材料多少立方米? 所需材料约为0?2?立方米? 与直接计算?V的值0?200801?立方米相当接近? 因为圆柱的体积V??r2h(其中r为底半径? h为高)? 所以 =2?rh?r??r2?h? 由于r?2? h?4? ?r??h?0?01? 所以 ?V?2??2?4?0?01???22?0?01?0?2?? 例13? 计算 的近似值. 解? 设函数f(x,y)=xy.显然，要计算的值就是函数在x=1.04，y=2.02时的函数值f(1.04，2.02) 由于 所以 故 内容小结 1.全微分定义 2. 重要关系: 偏导数存在 可微 偏导数连续 连续 3. 微分应用 近似计算 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 §8.4 偏导数与全微分 一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 一、偏导数 回顾 一元函数y=f (x)在x0处的导数 多元函数的变化率如何研究? 将y看作常量，研究z对x的变化率 将x看作常量，研究z对y的变化率 一、偏导数 偏增量 设函数z?f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义? 当x从x0取得改变量?x(?x?0)? 而y?y0保持不变时? 函数z得到一个改变量 ?xz?f(x0??x, y0)?f(x0, y0) 称为函数f(x, y)对于x的偏改变量或偏增量? 类似地? 定义函数f(x, y)对于y的偏改变量或偏增量 ?yz?f(x0, y0??y)?f(x0, y0)? 全增量 定义(偏导数) 设函数z?f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义? 如果当?x?0时? 极限 存在? 则称此极限为函数z?f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数? 记作 类似地? 可定义函数z?f(x, y)对y的偏导数? 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 注1. 注2. 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 解法1 解法2 例1 . 求 在点(1 , 2) 处的偏导数. 先求后代 先代后求 偏导数的求法 根据偏导数的定义? 求多元函数对一个自变量的偏导数? 只需将其他自变量看成常数? 用一元函数求导法即可求得? 偏导数的求法 根据偏导数的定义? 求多元函数对一个自变量的偏导数? 只需将其他自变量看成常数? 用一元函数求导法即可求得? 偏导数的求法 根据偏导数的定义? 求多元函数对一个自变量的偏导数? 只需将其他自变量看成常数? 用一元函数求导法即可求得? 注： 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求. 偏导数的求法 根据偏导数的定义? 求多元函数对一个自变量的偏导数? 只需将其他自变量看成常数? 用一元函数求导法即可求得? (0,0)处的偏导数 但函数在该点处并不连续 偏导数存在 连续 注： 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求. 多元函数在某点连续