8-6二元函数的极值范例.ppt

一、问题的提出 三、条件极值 拉格朗日乘数法 四、最小二乘法（选学） 五、小结 例9 　　为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下： 2、最小二乘法 如图，在坐标纸上画出 这些点， 　　因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的 ，使得 在 　　　　处的函数值与实验数据 相差都很小． 解 就是要使偏差 都很小. 因此可以考虑选取常数 ，使得 定义　这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的. 最小来保证每个偏差的绝对值都很小． 把　　看成自变量 和 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 在那些点处取得最小值. 即 　　将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和 分离出来，便得 计算得 代入方程组（1）得 解此方程组，得到 这样便得到所求经验公式为 由（2）式算出的函数值 与实测 的有一定的偏差.现列表比较如下： 偏差的平方和 ， 它的平方根 　 ． 　　我们把 称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏． 例10 在研究单分子化学反应速度时，得到 下列数据： 6.5 8.9 12.2 16.6 22.7 31.0 41.9 57.6 24 21 18 15 12 9 6 3 8 7 6 5 4 3 2 1 其中 表示从实验开始算起的时间， 表示时刻　反应物的量．试定出经验公式 解 由化学反应速度的理论知道， 应是指数函数： 其中 和 是待定常数. 由于 所以仿照例1中的讨论,通过求方程组 的解,把 确定出来. 讨论： 通过计算得 将他们代入方程组（3）得 解这方程组，得 因此所求经验公式为 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 最小二乘法(选学) 思考题 思考题解答 练 习 题 下页 下页 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 播放 二、二元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 (1) (2) (3) 例1 例２ 例３ 2、多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 解 3.多元函数的最大值和最小值 上的最大值和最小值. 怎 么 办 ？ 有何高见？ 由于区域的边界通常都比较复杂, 较困难的一件事情. 所以求多元函数的最大值和最小值是比 求函数最大值和最小值的基本原则 工程中遇到的函数大部分是连续的, 或者能 保证在所讨论的区域内, 取到它的最大值或 最小值. 如果知道可微函数 的最大值或最小值 一定在区域 内达到, 函数在区域内又仅有 一个驻点, 则该驻点一定是最大值点或最小 值点. 如果 为有界闭区域, 则函 必在 上取到它的最大值和最小值. 数 求函数 在有界闭区域 上的最大、最小值 的一般步骤为： ※ ※ 先求函数 在开区域 上的极大、极小值点; 再求函数 在边界 上的极大、极小值点; ※ 将所求出的极值(及边界上的特殊点的函数值) 进行比较, 即可得出函数的最大、最小值. 解 如图, 解 由 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 ．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极值点． 条件极值：对自变量有附加条件的