9.2二重积分的计算(一)2015.4.29范例.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 第九章 9.2 二重积分的计算法 9.2.1 直角坐标系下计算二重积分 9.2.2 极坐标系下计算二重积分 下面讨论二重积分 的计算 设积分区域 D : 在 上连续 其特点： 这些直线与 D 的边界相交不多于两点 间作垂直于 x 轴的直线， 在 D 是X－型区域 1. 二重积分的计算 记作 累次积分 若D为Y - 型区域 则 D 是Y－型区域 记作 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X - 型域或Y - 型域 , 则 化为二次积分，其中D 是由直线 所围成的平面区域。 解： 例9.2.1 将 将 D 看作X - 型区域, 则 及 则 化为二次积分，其中D 是由直线 所围成的平面区域。 解： 例9.2.1 将 将 D 看作Y - 型区域, 则 及 则 所围成的闭区域. 解法1 例9.2.2 计算 将 D 看作X - 型区域, 则 其中D 是由直线 及 所围成的闭区域. 解法2 例9.2.2 计算 将 D 看作Y - 型区域, 则 其中D 是由直线 及 例9.2.3计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解法1 及直线 则 为计算简便, 可看作 Y－型区域 例9.2.3计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解法2 及直线 则 看作 X－型区域 则D 需分成 和 两部分， 轴所围成的闭区域. 例9.2.4 计算 其中D 是由直线 及 解法1 将 D 看作Y - 型区域, 则 例9.2.5计算 其中 解 则 根据区域的特点去掉被积函数的绝对值号 则D 需分成 和 两部分， 2. 交换积分次序计算二次积分 例9.2.6 交换二次积分 的积分次序. 解 由题知，对应的X型积分区域是 画出积分区域D如图9.16所示， 将D换写成Y型区域如图9.17所示 所以 例9.2.7 计算二次积分 的值. 解 积分区域D如图 由于 故改变积分次序 所以 的原函数不是初等函数， 设函数 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 区域关于 y 轴对称, 函数关于 x 有奇偶性时,有类似结果 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则曲面关于 xoz 面对称 则 3. 对称性的应用 例9.2.8计算 其中D 由 所围成. 解: 令 由于D关于y轴对称，并且 与直线 内容小结 (1) 二重积分化为二次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 (2) 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 判断积分区域类型，确定积分次序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 图示法 不等式 充分利用对称性 应用换元公式 下面讨论二重积分 的计算 设积分区域 D : 在 上连续 其特点： 这些直线与 D 的边界相交不多于两点 间作垂直于 x 轴的直线， 在 根据二重积分的几何意义，二重积分 的值 等于以 D 为底， 为顶的曲顶柱体体积 以曲面 D 是X－型区域 1. 二重积分的计算 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 记作 利用平行截面面积是已知的立体的体积 求截面面积 累次积分 * * * * 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 * * * *