9-2微积分范例.ppt

一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分 二、小结 经 济 数 学 下页 返回 上页 一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结 思考题 第二节 二重积分的计算法（1） 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. ［X－型］ 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果积分区域为： ［Y－型］ X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 解法一 [X-型] 解法二 [Y-型] X=Y Y=2 X=1 Y X 2 1 1 2 解 解 解 解 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 曲面围成的立体如图. 解：积分区域D如图 =14080（万元） 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ 思考题 思考题解答: 例6 改变积分 的次序. 原式. 例7 改变积分的次序. 原式. 例1 求其中D是、及所围成的闭区域. 例2 求，其中是由抛物线和所围平面闭区域. 例3 求，其中D是由直线,及轴所围成的闭区域. 例8 求由下列曲面所围成的立体体积，，，，，. 设在上连续，并设， 求. 两曲线的交点 (万元/平方千米) 不能用初等函数计算 只能用Y-型. 故 不能直接积出, 改变积分次序. 令 则原式 填空题: 1、________________.其中 2、_______________.其中D顶 点分别为 ，，的三角形闭区域 . 3、将二重积分,其中D是由x轴及半圆周 所围成的闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为_____________________. 4、将二重积分,其中D是由直线 及双曲线所围成的闭区 域,化为先对x后对y的二次积分,应为 __________________________. 5、将二次积分改换积分次序, 应为_________________________. 6、将二次积分改换积分次序, 应为_________________________. 7、将二次积分 改换积分次序, 应为__________________________. 二、画出积分区域,并计算下列二重积分: 1、,其中D是由所确定的闭区域. 2、其中D是由直线 所围成的闭区域. 3、 。 4.其中D: . 三、设平面薄片所占的闭区域由直线 和轴所围成,它的面密度,求该 薄片的质量 . 求由曲面及,所围成的立体的体积 . 一、1、1； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、. 二、1、； 2、； 3、； 4、. 三、. 四、. 所求体积 所围立体在面上的投影是 例9 某城市受地理限制呈直角三角形分布，斜边临一条河.由于交通关系,城市发展不太均衡,这一点可从税收状况反映出来.若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系,则位于轴和轴上的城市长度各为和,且税收情况与地理位置的关系大体为 求，其中D是以 为顶点的三角形. 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 例5 计算积分 . 不能用初等函数表示 先改变积分次序. 原式