直线与平面和两平面的相对位置.pptVIP

教学目的： 1.掌握直线与平面平行以及两平面相互平行的几何条件和作图法。 2.熟练掌握直线与平面的交点和两平面交线的求法及其可见性的判 别方法。 3.掌握直线与平面垂直的投影特性。 教学重点： 1.直线与平面平行以及两平面相互平行的几何条件和作图方法。 2.直线与平面的交点和两平面交线的求法及其可见性的判别方法。 3.直线与平面垂直的投影特性及求点面距离的作图方法。 教学难点： 1.直线与平面平行以及两平面相互平行的几何条件和作图方法。 2.直线与平面的交点和两平面交线的求法及其可见性的判别方法。 3.直线与平面垂直的投影特性及求点面距离的作图方法。 直线与平面及两平面的相对位置，有平行和相交两种，相交中还有垂直这一特殊 情况。 2.5.1 直线与平面平行、两平面相互平行 从立体几何知道:（1）若一平面外的一直线，平行于此平面内的一直线，则此直 线与平面平行。（2）若一平面内有两条相交直线平行于另一平面，则此两平面相互 平行。 1.当平面的投影有积聚性的情况 根据上述几何定理，同时考虑到“平行两直线的同面投影彼此平行”以及“垂直 于投影面的平面在该投影面上的投影积聚成直线”这两个投影特性，就可得出特殊情 况下（至少有一个平面处于特殊位置）关于平行问题的投影特性。 （1）当直线与垂直于投影面的平面平行时，则它们在该投影面上的投影一定平 行。例如图2-36所示为直线AB与铅垂面P平行，则它们的水平投影也平行。 （2）当两个互相平行的平面垂直于一个投影面时，则它们在该投影面上的投 影也一定互相平行，例如图2-37所示为互相平行的两个铅垂面P和Q的水平投影也 互相平行。 【例2-11】 试过直线CD作一平面与直线AB平行（图2-38（a））。 【解】 若在直线CD上任取一点，例如D点，过D点作直线DE平行于直线AB （图2-38（b）），则相交两直线CD，DE所决定的平面，一定平行于直线AB，即 所求平面。 【例2-12】 试过D点作一平面平行于△ABC（图2-39（a））。 【解】 若一平面内有两条相交直线平行于另一平面，则此两平面相互平 行，故只要过D点作两直线分别平行于△ABC内任意相交两直线即可。图2-39 （b）中，DE∥AB，DF∥BC，相交两直线DE，DF所决定的平面，即为所求平面。 2.5.2 直线与平面相交、两平面相交 直线与平面相交的交点，是直线与平面的共有点。作图时，除了要求出交点 的投影外，还要判别直线投影的可见性。 两平面的交线是直线，它是两平面的共有线。求两平面交线的方法是:求出 两个共有点，或者一个共有点和交线的方向。作图时，除了求出交线的投影外， 还要判别两平面投影的可见性。 求交点和交线问题，可分为两种情况。一种是特殊位置情况，即当直线或平 面处于某些特殊位置时，利用它们投影的积聚性来求交点和交线;另一种是一般 位置情况，利用辅助面法求交点和交线。 1.利用积聚性求交点和交线 如图2-40所示为直线AB与铅垂面△CDE相交，由于△CDE的水平投影有积聚 性，因此，直线AB与△CDE的水平投影的交点k就是空间交点K的水平投影。根据 这一投影特点，在投影图（图2-40（b））中首先得到交点的水平投影k，由k可 求得正面投影k′。 关于可见性，本图的水平投影不需要判别。正面投影中直线AB与△CDE投 影重叠部分有可见性问题，它有两种可能:一种是右上方一段可见，左下方一段 不可见，如图2-41（a）;另一种是左下方一段可见，右上方一段不可见，如图 2-41（b）。不管是哪种情况，交点本身总可见，而且是可见和不可见的分界 点。 判别可见性，有两种方法: （1）观察法 例如现在是判别正面投影的可见性，是从前向后看，看直线AB 与△CDE的前后位置关系，从水平投影可以看出，直线KB段在△CDE之前，故 k′b′段都可见，画成粗实线;而KA段在△CDE之后，故a′k′与△c′d′e′重 合的一段不可见，画成细虚线。这种观察法比较省事，但当直线和平面处于一般 位置，特别是图形较复杂时，观察法可能有困难。 （2）交叉两直线上的重影点法 例如图2-42中AB和DE是交叉两直线，我们可 利用AB和DE上对V面的重影点Ⅰ和Ⅱ，设点Ⅰ在AB上，点Ⅱ在DE上，由于 YⅠYⅡ，表示KB段在△CDE之前，故其正面投影可见。判别结果，与观察法所得 结果相符。 图2-43所示为铅垂线AB与一般位置△CDE相交，由于铅垂线AB的水平投影ab 具有积聚性，故交点K的水平投影k一定重合在ab上。又因K点在△CDE平面内，故 其正面投影k′可利用辅助线求得。图中所作辅助线为在△CDE内且过交点K的直 线CF