直线和直线的夹角.pptVIP

§5　夹角的计算 5.1 直线间的夹角 例1如图在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD,AB=2 BC=1，AA=3.求对角线AC和侧面对角线AD的夹角θ的余弦值 解法一（坐标法） 因为A(0，0，0) , C(2，1，3),A(0，0，3),D(0，1，0),所以 解法二(基向量法） 方法三（几何法) 如图在长方体ABCD-ABCD的基础上补长方体CDNM-CDNM使其与长方体ABCD-ABCD全等，连结CM,AM因AD//CM 所以AC与CM的夹角即为所求，在三角形ACM中因 本题错解的主要原因是：(1)忽略了异面直线所成角的范围，其余弦值应具有非负性； (2)误把两向量所成的角看作两异面直线所成的角． 课后小结 1.直线夹角的概念 2.直线间夹角与直线的方向向量间夹角的关系 3.如何用直线的方向向量计算两直线间的夹角的余弦值 * * * * 例3 异面直线l1与l2的夹角 方向向量 〈s1，s2〉 π－〈s1，s2〉 * * 例3 * * 自学导引 1．直线间的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在 内的角叫作两直线的夹角． 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作 ． 空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的 的夹角确定． 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2. 当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于 ； 当〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于 ． 点睛 利用向量求直线间的角 (1)线线角：直线与直线所成的角θ，如两直线的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|. 　 误区警示　因忽略了异面直线所成角与向量夹角的关系而出错 【示例】 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值． [错解] 以点D为B(b，a，0)，D(0，0，c)，B(b，a，c)，(0，a，0)，所以＝(－b，－a，)，＝(－b，0，－c)，从而，＝＝所以，所求异面直线BD和B的夹角的余弦值为 [正解] 同错解得，＝所求异面直线BD和B所成角的余弦值为. ．