矩阵论第3章1–2节.pptVIP

第3章 函数逼近与曲线拟合 3.1.2 范数与赋范线性空间 3.1.3 内积与内积空间 3.2 正交多项式 3.2.2 勒让德多项式 3.2.3 切比雪夫多项式 3.2.4 其他常用的正交多项式 如果 ， （1.14） 这里 仍为正实数序列， 为 的共轭. 在 上也可以类似定义带权内积. 带权内积定义为 定义4 设 是有限或无限区间，在 上的非负 函数 满足条件： （1）  存在且为有限值 （2） 对 上的非负连续函数 ，如果 则称 为 上的一个权函数. 则 例2 设 是 上给定的权函数, （1.15） 由此内积导出的范数为 称（1.15）和（1.16）为带权 的内积和范数. 上的内积. 则可定义内积 （1.16） 常用的是 的情形，即 若 是 中的线性无关函数族， （1.17） 根据定理3可知 线性无关的充要条件是 它的格拉姆矩阵为 记 3.2.1 正交函数族与正交多项式 定义5 （2.1） 则称 与 在 上带权 正交. 若 上的权函数且满足 为 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族. 若 ，则称之为标准正交函数族. （2.2） 三角函数族  就是在区间 上的正交函数族. 定义6 设 是 上首项系数 的 次多 项式， 为 上权函数， 满足关系式(2.2)， 则称多项式序列 为在 上 带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式. 如果多项式序列 （2.2） （2.3） 只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性 无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造 出正交多项式序列 ： （1） 是具有最高次项系数为1的 次多项式. 得到的正交多项式序列有以下性质：  （2） 任何 次多项式 均可表示为 的线性组合. （3） 当 时， 与任一次数小于 的多项式正交. 且 其中 这里 （2.4） （4） 成立递推关系 （5） 设 是在 上带权 的正交多项式 序列，则 的 个根都是在区间 内的单重 实根. 罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式 （2.5） 当区间为 ，权函数 时， 并用 表示. 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式， 由 由于 是 次多项式， 所以对其求 阶导数后得 最高项系数为1的勒让德多项式为 （2.6） 于是得首项 的系数 勒让德多项式重要性质： 性质1 （2.7） 证明 令 ， 设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部 积分知 正交性 则 下面分两种情况讨论: （1） 若 是次数小于 的多项式， 则 故得 则 （2） 若 于是 由于 故 性质2 （2.8） 由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为 偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数， 为奇数时 为奇函数，于是（2.8）成 立. 奇偶性 性质3 考虑 次多项式 两边乘 并从-1到1积分， 递推关系 它可表示为 得 故得 当 时， 次数小于等于 ， 为0， 上式左端积分 当 时， 其中 左端积分仍为0， 故 于是 为奇函数， 由 从而得到以下的递推公式 （2.9） 利用上述递推公式就可推出 图3-1 图3-1给出了 的图形.  在区间