研究生数值分析牛顿〔Newton〕迭代法.pptVIP

* * 则近似方程转化为 设 ，上式解为 5 牛顿(Newton)迭代法 （1）牛顿迭代公式 设xk是非线性方程 f(x)=0的一个近似根，把 f(x)在xk处作一阶泰勒展开，即用前两项近似代替 于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿迭代公式 牛顿迭代公式具有明显的几何意义。 方程 是曲线 y=f(x)在点 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴 交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。 求出 （2）牛顿迭代法收敛的充分条件 具有相同的根。因此，牛顿迭代法是一种以 为迭代函数的迭代法。 当 时，方程 与 定理４ 对于方程 ，若存在区间 ， 使 1、在 内存在方程的单根 ； 2、 在内 连续。 则牛顿迭代法在 附近具有局部收敛性。 证明：由迭代函数得 所以 且 由条件（2），必存在区间 ， 使 ，在 内连，且 。 根据定理2，牛顿迭代公式在 附近局部收敛。 因为 是 在 内的单根， 定理５ 对方程 ，若存在区间 ，使 （3）对任意 ，都有 ； 在 上的唯一实根 。 （1） 在 上连续； （2） ； （4） 在 上保号， 则当初值 ，且 时， 牛顿迭代公式产生的迭代序列 收敛于方程 定理５的简要几何说明： 条件（2）保证了方程y = f (x) 在[a ,b]内至少有一实根； 条件（3）说明在[a ,b]上恒有 或 即f(x)=单调，f(x)=0在[a,b]内最多有一实根。 由条件(1)、(2)、(3)知，方程 f(x)=0在[a ,b]内有唯一实根 。 条件（4）表明曲线y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。 条件（1）保证了曲线 y=f (x)的连续性和光滑性； 不难看出，只要初始近似值满足条件 及 ，则迭代过程必收敛。 曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形。 的实根，要求准确到 解：设 ，则 容易验证 在[0，3]上 例4 用牛顿迭代法求方程 满足定理５的条件 当 时 牛顿迭代公式 收敛 计算结果如下 因为 ，所以 为满足精度要求的近似根。 例5 给出用牛顿迭代法求平方根 的迭代公式，并计算 使其精确至7位有效数字。 的牛顿迭代公式为 解：作函数 ， 则f (x)=0的正根 就是 现在分析迭代公式的收敛性，考虑区间 （1） ，故 （2）当 时， ； （3）当 时， ，连续； 满足定理５条件，牛顿迭代公式收敛。 事实上，由迭代公式可得 两式相除得到 ， 令 ，于是 对任意 ，总有 ， 说明对任意初值 ，迭代公式都是收敛的。 所以当 时， 解得 由此递推可得 利用迭代公式，取 计算结果 精确至7位有效数字， 与精确值 比较，可知牛顿迭代公式只需迭代3次 就能达到精度要求。 当迭代过程收敛，且 连续时, 有 这表明当 时,简单迭代法是线性收敛的。 例6 分析简单迭代法与牛顿迭代法的收敛速度。 解：对于简单迭代法，由 对于牛顿迭代法， （1）若 是方程 的单根（即 　） 则由 容易验证，当所涉及到的各阶导数在 附近连续时 这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。 （2）若 是方程 的 重根，