离散数学课件〔第5章〕.pptVIP

《离散数学》教案 计算机科学与技术学院 课程学时：64 主 讲：宋 成 第三篇：代数系统 本篇用代数方法来研究数学结构，故又叫代数结构，它将用抽象的方法来研究集合上的关系和运算。 代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多分支中，它对程序理论，数据结构，编码理论的研究和逻辑电路的设计已具有理论和实践的指导意义 本篇讨论一些典型的代数系统及其性质。 第五章：代数结构 §5.1 代数系统的引入 §5.2 运算及其性质 §5.3 半群 §5.4 群与子群 §5.5 阿贝尔群和循环群 §5.6* 陪集与拉格朗日定理 §5.7 同态与同构 §5.8 环与域 第五章：代数结构 教学目的及要求： 深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算 教学类容： 代数系统的引入、运算及性质、半群、群与子群、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理 、同态与同构、环和域。 教学重点： 群、环、域的概念及运算，同态和同构。 教学难点： 同态与同构 的概念。 第五章：代数结构 §5.1 代数系统的引入 1、运算 【定义5.1.1】 设A是非空集合，一个从An到B的映射,称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。如果B ? A，则称该n元运算是封闭的。 在定义5.1中，当n=1时，f称为集合A上的一元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“°”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 第五章：代数结构 §5.3 半群 【定义5.3.1】一个代数系统S，*，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果运算*是封闭的，则称代数系统S ，*为广群。 【定义5.3.2】 设S ，*是代数系统，*是S上的二元运算，如果*满足结合律，则称代数系统S ，*为半群。 【例如】代数系统I ，＋、?R ，??、P(a) ，∪、P(a) ，∩、Nk ，＋k和Nk ，×k都是半群。 半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运算组成的代数系统。设S ，*是半群，如果运算*又满足交换律，则称半群S ，*为可换半群。若S为有限集合，则半群S ，*称为有限半群。 【定理5.3.1】 设S ，*是半群，*是S上的二元运算，B?S，如果*在B上是封闭的，则?B ，*?也是半群。 第五章：代数结构 第五章：代数结构 例5.4.1中的群?G,*?叫做Klein 四元群，简称四元群。Klein 四元群有以下4个特点： 第五章：代数结构 【例5.7.1】设I,＋和R,×是代数系统，其中，＋, ×是数的加法和乘法，I是整数集，R是实数集。f：I→R，定义为：?x?I, 判断f是不是代数系统I,＋到R,×的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。 解：?x, y?I， 当x和y都是偶数时：f (x+y)=1=1×1=f (x)×f (y) 当x是偶数和y是奇数时：f (x+y)=-1=1×(-1)=f (x)×f (y) 当x是奇数和y是偶数时：f (x+y)=-1=(-1)×1=f (x)×f (y) 当x和y都是奇数时：f (x+y)=1=(-1)×(-1)=f (x)×f (y) 即f (x+y)=f (x)×f (y)，所以f是同态函数。 因为任何偶数的函数值为1，故f不是单射；又ranf=?-1, 1??R，故f不是满射。 所以不是单同态，不是满同态，也不是同构。同态像f(I),×是?-1, 1?,×。 第五章：代数结构 【例5.7.2】设R+,×和R,＋是代数系统，其中，＋, ×是数的加法和乘法，R+是正实数集，R是实数集。 f：R+→R，定义为：?x?R+, f (x)=lnx 判断f是不是代数系统R+,×到R,＋的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。 解：?x, y?R+, f (x?y)=ln(xy)=lnx+lny，故f(x)=lnx是同态函数。又因为f (x)=lnx是严格单调函