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数学物理方法 第六章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在19世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥维赛(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法。 拉普拉斯变换在电学、光学、力学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用。 6.1 符号法 6.2 拉普拉斯变换 故 数学物理方法 符号法 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的反演 应用例 6.1.1 符号法 运算微积的原始形式是符号法。函数的阶导数可以看成求导算符在函数上作用次的结果，。算符的“倒数”则解释为积分算符，，例如。依次类推 (6.1.1) 亥维赛把符号法应用于求解线性微分方程，大大的推广了符号法的应用。例如，电阻和自感串联电路的微分方程为： （6.1.2） 亥维赛把上式改写为 （6.1.3） 上式中算符出现在分母中本没有意义，但亥维赛把上式展开，并逐项应用(6.1.1)，得到 亥维赛取的的成绩使当时的数学家大为吃惊！但亥维赛也作出了一系列计算错误，乃是没有注意到和的次序不可交换， 6.2.1 拉普拉斯变换的定义 上一章指出，傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数在任意有限区间都满足狄里希利条件，并是绝对可积的。这是相当强的一个条件，以致于许多常见的函数（例如多项式、三角函数等）都不满足这条件。 这章介绍另一种常见变换－拉普拉斯变换，其变换存在的条件要宽松。 拉普拉斯变换常用于初始值问题，即知道某个物理量在初始时刻的值，而求解其后任意时刻的变化情况，至于初始时刻之前的值，并不感兴趣，不妨设 （6.2.1） 为了获得宽松的变换条件，把加工为， （6.2.2） 这里的是收敛因子，是为了保证在区间上绝对可积。于是，对施展傅里叶变换 定义：某函数在上有定义，且积分（为复参量）对复平面上某区域收敛，则积分确定的函数 称为的拉普拉斯变换函数。上式中积分称为拉普拉斯积分，称为拉氏变换的核。 常用简单符号表示拉氏变换： （6.2.4） 综合傅里叶变换和拉氏变换，傅氏变换的像函数是一个实自变量的复值函数，拉氏变换的像函数则是一个复自变量的复值函数。 由前推导可见，拉氏变换实际上是的傅里叶变换，它是一种单边广义傅里叶变换。单边指积分区间为，广义指它要乘上再做傅里叶变换。 例 6.1.1 计算。 解：在（即）的半平面上 例 6.1.2 计算。 解：在（即）的半平面上 推广： 例 6.1.3 计算，为常数 解：在的半平面上 例 6.1.4 计算，为常数 解：在的半平面上 推广： 例 6.1.5 分别求和的拉氏变换 解：在的半平面上 例 6.1.6 求，其中是存在拉氏变换的任意函数。 解：将拉氏变换的定义式 两边分别对求导有 从而有 推广： 6.2.2 拉普拉斯逆变换 从前面拉普拉斯变换的引入，可知的傅里叶逆变换是 即： 称为原函数，称为像函数。它们之间可用简单符号写为 （6.2.5） （6.2.6） 或者 （6.2.7） (6.2.8) （注：有的书上为） 注意：原函数应该理解为，通常省略不写。 6.2.3 拉氏变换的存在定理 拉氏变换存在的条件是： 在的任意有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数及其导数都处处连续； 存在常数和，使得对任何都有 则在上存在并解析。 称为收敛横标。 证明： 6.2.4 拉氏变换基本性质 由定义的拉氏变换存在如下性质：（1）是在的半平面上的解析函数。 证明：考察积分，利用 因而积分是一致收敛的，于是可以交换求导和积分次序。即，由此可见在上处处可导，因而是解析的。 （2）当，而时，存在且满足。 证明： 因而积分收敛，且，得证。 将记为，并将记作，则 （6.2