第10章09〔习题课2〕.pptVIP

习 题 课 曲面积分的计算法 2. 基本技巧 * 线面积分作业问题 第十章 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 (1) 统一积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类: 始终非负 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面Σ投影到相关坐标面确定积分域 二重积分 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 Ω为闭曲面Σ所围 思 考 题 1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例. 2) 设曲面 问下列等式是否成立? 不对 ! 对坐标的曲面积分与 ? 的侧有关 课堂练习: P185 题4(3)、（2） 其中 ? 为 的上侧. 助面,且取下侧 , 解: 以半球底面 记半球域为 ? , 利用高斯公式有 计算 为辅 半球面 原式 = P185 题4(2) ,同样可利用高斯公式计算. 利用高斯公式有 在三个坐标面上有 x = 0 , y =0 , z = 0. 例1. 证明: 设 (常向量) 则 ?的单位外法向量, 试证 设 ? 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为 根据两类曲线积分之间的关系(P166式(9)) 例2.计算 其中, 解: 利用Gauss rule 及坐标轮换对称性 例3. 计算曲面积分 中? 是球面 解: Σ关于zOx面对称,而被积函数(x+z)y是关于y的奇函数,利用性知积分为零 用重心公式 (1+1=2) 球面的面积= 4πR2=4π×2 球心(1,01) P158 4# (3)计算曲面积分 其中Σ为抛物面z=2-(x2+y2)在xOy面上方的部分: 解: (用极坐标) (用极坐标) (令ρ=(tant)/2) P158 6# 计算下列对面积的曲面积分: 其中Σ为锥面 被柱面 截得的有限部分. x y z O Dxy 2a Σ 解: Σ在xOy面上的投影区域 Dxy为圆域 ,由于Σ关于 xOz面对称,而函数xy和yz关于y均 为奇函数,故 (用极坐标) P159 8# 求面密度为μ0的均匀半壳x2+y2+z2=a2 (z≥0)对于z轴的转动惯量. 解: (用极坐标) (ρ=asint) P167 3# (2) 计算下列对坐标的曲面积分 其中Σ是柱面 内的部分的前侧; x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限 解: 由于柱面x2+y2=1在xoy面上的投影为 零,因此 ,由 因Σ取前侧,所以 x 1 1 y z O Σ 3 n x 1 1 y z O Σ 3 n P167 3# (4) 计算下列对坐标的曲面积分 其中Σ是平面 x= 0,y= 0,z=0, x+y+z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解: x y O z x+y+z=1 1 1 1 由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性,可得 P174 1# (2)利用Gauss formula 计算曲面积分 其中Σ为球面x2+y2+z2=a2的外侧; 解: 用球面坐标 P175 4# 设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数， 、 依次表示 u(x,y,z) 、v(x,y,z) 沿Σ的外法线方向的方向导数. 其中Σ是空间闭区域Ω的整个边界曲面.这个公式叫格林第二公式 . 证明: * * *