第16讲第3章第3–4节除环和域无零因子环的特征.pptVIP

例3 例4 模m的剩余类环 性质2 例 5 域的除法 第4节 无零因子环的特征 定理1： 定理2： 近 世 代 数(Abstract Algebra) 主讲教师 ： 蔡 炳 苓 （河北师范大学数学与信息科学学院) 第3节 整环, 除环和域 第三章 环与域 定义 一个交换的,有单位元 且 的无零因子环 称为整环. 例 1 整数环, 高斯整环都是整环, 而偶数环为无零因子的交换环。 定义：设 是有单位元的环,且 如果 中每个非零元都可逆,则称 为除环. 交换的除环称为域. 例2 都是域. 为域. 是有单位元的交换环. 的每个非零元都可逆. 证明 证明 可证 下证, 零元为[0],单位元为[1].而且有结论 为域 为素数. 为此先考虑以下性质即可： 性质1 设 ,则 为 的零因子 (1) (2) 为 的可逆元 证：(1)若 为 的零因子,则存在 ,使得 故 .若 ,则 ,所以 ,矛盾.于是 . 反之,如果 ,设 则 所以 ,但 于是 是零因子. (2)若 为 的可逆元,则 ,即 于是, 使得 ,也就是 所以 反之, 如果 ,则 ,因此, 故 可逆. 剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子. 为无零因子环 为素数. 为素数，若 则 ， 或者 ，即 若 不是素数，则 证：设 为无零因子环. 为有零因子环. 解 (1) (2) 直接计算可知,相应的逆元为 全部零因子: 全部可逆元: 设 为域, 则对任意的 有 ，记作 由此可定义域 的除法: 设 ,规定 称 为以 除 的商. 且有下列运算法则: 说明：（1）整环，除环和域都是无零因子的环; (2)R中至少2个元，则 环R为除环当且仅当R中全体非零元集合 R*关于乘法做成群； 环R为域当且仅当(R,+)和(R*,.)都是交换群. （3）除环中 例5 我们知道，任意数环中，任意两个非零数之积还是非零数，而且对有 在模n的剩余类环中， 而且满足条件的最小正整数n是存在的. 不难发现，以上性质和环中元的加法阶有关. 无零因子环中任意非零元对加法的阶相同. 证明：若都无限，阶相同. 定义：对于加法来说，一个无零因子环R的非零元的相同的（加法）阶叫做环R的特征。 记作charR。 注：若无零因子环R的特征是n，则R的所有非零元的n倍为零元。 无零因子环的特征或者无限，或者为素数. 证明：（反证法）设有限且为合数 与无零因子环矛盾，故假设不成立. 推论： 整环，除环和域的特征或为无限大或 为素数p. 性质：在特征为p的交换环R里，有