12函数的微分范例.ppt

* * 主要内容： 第二章 导数与微分 第四节 函数的微分 一、微分的定义； 二、微分的几何意义； 三、基本微分公式与微分运算法则； 四、微分在近似计算中的应用. 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 一、微分的定义 引例 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:是否所有函数的改变量都可表示为 Dy?ADx?o(Dx) ? 线性函数 ADx 中的 A 是什么? 如果函数 y?f(x) 的增量可表示为 Dy?f(x0?Dx)?f(x0)?ADx?o(Dx)? 其中 A 是与 Dx 无关的常数, 则称函数 y?f(x)在点 x0可微. 而 ADx 叫做函数 y?f(x) 在点 x0 相应于自变量增量 Dx 的微分? 记作 dy? 即：dy?ADx? 微分的定义 (微分的实质) 问题:是否所有函数的改变量都可表示为 Dy?ADx?o(Dx) ? 线性函数 ADx 中的 A 是什么? 如果函数 y?f(x) 的增量可表示为 Dy?f(x0?Dx)?f(x0)?ADx?o(Dx)? 其中 A 是与 Dx 无关的常数, 则称函数 y?f(x)在点 x0可微. 而 ADx 叫做函数 y?f(x) 在点 x0 相应于自变量增量 Dx 的微分? 记作 dy? 即 dy?ADx? 微分的定义 注: 既容易计算又是较好的近似值 (微分的实质) 函数 f(x) 在点 x0 可微 ? 函数 f(x) 在点 x0 可导? 且函数 y=f(x)在点 x0 的微分一定是dy?f ?(x0)Dx? 可微与可导的关系 y?f(x) 在点 x0 可微 ? Dy?ADx?o(Dx)? dy=ADx? 这是因为? 一方面 另一方面 其中 a?0(当 Dx?0)? 且 A=f(x0) 是常数? aDx ?o(Dx)? , 函数 y?f(x) 在任意点 x 的微分? 称为函数的微分? 记作 dy 或 df(x)? 即 dy?f ?(x)Dx? 例如? dcos x?(cos x)?Dx ??sin x Dx ? dex?(e x)?Dx?exDx? 可微与可导的关系 y?f(x) 在点 x0 可微 ? Dy?ADx?o(Dx)? dy=ADx? 函数 f(x) 在点 x0 可微 ? 函数 f(x) 在点 x0 可导? 且函数 y=f(x)在点 x0 的微分一定是 dy?f ?(x0)Dx? 例1 求函数 y?x3 当 x?2? Dx ?0?02 时的微分? 解 先求函数在任意点 x 的微分? dy?(x3)?Dx?3x2Dx? 再求函数当 x?2? Dx?0?02 时的微分? dy|x=2, Dx=0.02 =3?22?0.02=0.24? =3x2Dx| x=2, Dx=0.02 函数 y?f(x) 的微分: dy?f ?(x)Dx? dx=(x)?Dx=Dx? 自变量 x 的微分 dx 等于增量 Dx , 即 函数 y?f(x) 的微分更习惯地记作 自变量的微分 dy?f ?(x)dx? dx?Dx? 函数 y?f(x) 的微分: dy?f ?(x)Dx? 例3 函数 y?f(x) 的微分: dy?f ?(x)dx? 例2 解 解 二、微分的几何意义 当 |Dx| 很小时? |Dy?dy| 比 |Dx| 小得多? 于是 Dy 是曲线上点的纵坐标的增量; dy 是过点 (x0? f(x0)) 的切线上点的纵坐标的增量. 当 x 从 x0 变到 x0+Dx 时? 用切线小段 MP 近似代替曲线小段 MN? 微分的几何意义: P N 0 三、基本微分公式与微分运算法则 d(xm)?m xm?1dx d(sin x)?cos xdx d(cos x)??sin xdx d(tan x)?sec2xdx d(cot x)??csc2xdx d(sec x)?sec x tan xdx d(csc x)??csc x cot xdx d(a x)?ax ln adx d(e x)?exdx (xm)??m xm?1 (sin x)??cos x (cos x)???sin x