第2章机构运动学仿真的理论.pptVIP

* 矢量环与矢量链方程； 第二章 机构运动学仿真的理论基础 主要内容： 向量和矩阵的约定表示； 几乎所有运动学分析程序化的技术，其核心就是闭环矢量力程。 它是机构各个构件之间连接约束的一个非常简洁而又明了的表达式。易于求解，并且是进行机构计算机分析所需采取的第一步。 矢量链是用来确定机构上某一点的位置。 这一点并不是机构中随意的某一点，对于机构运动学分析而言是十分重要的点，诸如连杆的质心。矢量链也可用于开链机构(仅有一个连接点与固定连杆或地而相连)的运动学分析． 2.1 矢量环与矢量链方程 2.1 矢量环与矢量链方程 1.平面矢量 矢量——具有大小和方向的物理量。 位移矢量表示了空间任意两点之间的有向距离。 机构分析认为：机构中每一根连杆都可以表示为一个位移矢量，矢量的起点就是连杆的某一端点，而其另一端点就是矢量的终点。这个位移矢量的大小就是连杆的长度，矢量与x轴正向间的夹角就是连杆的夹角(逆时针为正)，如图2-1所示。 矢量是用大写黑体字母 R 来表示；矢量长度用小写字母 r 来表示，且不是黑体字。 给定坐标系，则矢量R的x分量与y分量将可以用矢量的长度 r 和它与x轴正向间的夹角来表示，即 在复数坐标系中，复向量的表示为 为幅角，在机构中为变量。 为模，在机构中为常量； 2、单个闭环方程 2.1 矢量环与矢量链方程 同一坐标系位移矢量的编号顺序应遵循约定。即，任意一组位移矢量，应当构成一个易于正确表达和便于推导的闭环矢量方程。 用位移矢量取代了连杆。 根据矢量加法，矢量R2和R3应当首尾相连，矢量R1和R4也如此。注意到矢量R3和R4的矢端都在机构的同一点B，这表明矢量(R2 ，R3)和(R1，R4)各自相加的结果相等，其数学表达式为： 无论机构运动到何种状态，只要能够保证机构的几何装配条件．则这个闭环矢量方程就一定能够成立。 (2—1) 运动学分析大部分内容涉及的是机构的速度与加速度计算，因此必然就会遇到对矢量方程(2-1)求时间导数。 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 各个矢量随时间而变化。因为，即使各个连杆的长度保持不变，但它们各自的方位(矢量的指向)却是随机构运动而改变的。对于其他一些机构，可能位移矢量的大小和方向均会改变。 矢量方程对时间求导数的简单方法是将闭环矢量方程分解成为沿x方向和y方向的两个标量表达式。 根据矢量角度的定义，标有各矢量夹角的闭环矢量方程几何表达式如图2-4所示。必须注意，若由x正向旋转到矢量的矢端为逆时针转动，则该矢量的角度为正。此外还需注意，矢量角度的表示应与连杆夹角的表示相一致。 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 r1-r4代表了各个连杆的长度（保持不变）。机构四个连杆夹角当中的任一个均可视为恒定并可假定为零，因为坐标系的定位是任意假定的。基于这一点，为了简化问题，取x坐标轴与某一矢量相重合。 依据上述约定和假设，可得到闭环矢量方程的两个分量表达式，即 (2—3) (2—2) 方程(2-2)和(2-3)对时间求一阶导数后得 (2—5) (2—4) 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 在分析中，通常假定某一连杆以匀角速度转动。如ω2保持常量。 ω2就称之为机构的输入。方程(2-4)和(2-5)可重新写成 (2—7) (2—6) 写成以下矩阵形式 闭环矢量方程的二阶导数也是十分有用，只需记住速度方程中的各项是两个时间变量（ω和cos(θ）)的乘积以及求导规则。 (2—8) 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 方程组的矩阵形式为 (2—9) (2—10) 假定连杆2的输入角速度ω2和角加速度a2均为已知 (2—11) 例2—1 2.1 矢量环与矢量链方程 (2—8) 利用方程(2-8)求解四连杆机构在图2—5所示位置时连杆3、4的角速度。各连杆长度及在图示位置的转角见表2—1。设输入连杆2的角速度为100 rad／s。 注意，由于坐标系的放置以及坐标原点的定位是任意的，因而闭环矢量方程的表达并不是唯一的。 使用MATLAB编制的程序如下 例2—1 2.1 矢量环与矢量链方程 MAILAB提示： 在MATLAB程序设计中，三角函数是用弧度来表示的。由于我们通常习惯于使用度为单位，因此就需要角度与弧度单位之间的转换。MATLAB通过设定一个恒定的、带有普遍意义的参数Pi(其值等于π)即可容易地实现这种变换，并且可使程序的计算精度达到最大。 2.1 矢量环与矢量链方程 4、其他常见的机构 5.1 两连杆平面机器人 2.1 矢量环与矢量链方程 5、矢量链 有时，准确地确定机构上除铰支座结点以外的一点或多点的运动是非常重要的。还有时候，需要对具有地面连杆但未形成闭环的