第2章流变学基本物理量.pptVIP

第二章 流变学基本物理量 第二章 流变学基本物理量 张量的特征： 几个特殊的张量 单位张量 单位张量的表达式 对称张量 二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变，称为二阶对称张量。即有σij=σji 反对称张量 二阶反对称张量的分量满足pij=-pji 对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有 张量的代数运算 （1）张量相等 两个张量相等，则各分量一一对应相等。若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等，则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。 （2）同阶张量加减 两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐标系下对应分量相加减。即 （3）张量数乘 张量Aij和标量λ的乘积，也称张量放大。就是把Aij的各个分量分别乘以λ。有Bij= λAij 根据以上法则，流变学中常用的一种变换 (4)张量的单点积 张量Aij和张量Bij的单点积，按矩阵乘法运算，单点积的结果仍为张量。有 偏应力张量 根据力的性质不同，应力张量可以分解表示，其中最常见的分解形式如下： T=1/3(trT)I+σ 式中：trT=T11+T22+T33 称为张量的迹 I为单位矢量 σ偏应力张量 若定义 –p=1/3trT 则T可分解为 T=-pI+σ 分量式：T=-pδij+σij 式中 p为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有各向同性压力。它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。 δij=0（i=j） δij=1 （i≠j） 单位张量 偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写。 与应力张量相似也是对称张量，只有六个独立分量。 三个为法向应力， 三个为剪切应力分量： 例1 静止液体的内应力 静止液体内只有法向应力（实际上就是各向同性压力），无剪切应力。故各应力分量为 例2 均匀拉伸或压缩 设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之外不再有任何其他作用力，各应力分量为： 例3 均匀剪应力 设流体的应力状态为：只有剪切分量T12=T21=?,?=常数，而所有其他剪切分量为零。这种剪应力称均匀剪应力。 当流体沿 x1方向流动，而在x2=常数的平面上受到剪切时，例如在x1方向分层流动的简单剪切流场中，可能发生均匀剪应力。 考察在简单剪切流场中材料所受的法向应力的情况 牛顿流体只有粘性而无弹性，因此在应力张量中与弹性形变联系的各法向应力分量相等，均可归于各向同性压力。 而偏应力张量中，各法向应力分量等于0。应力张量T分解为： 高分子液体是粘弹性流体，在剪切场中既有粘性流动，又有弹性形变，一般情况下三个坐标轴方向的法向应力分量不相等，。因此要完整描述高分子液体的应力状态，偏应力张量中至少需要4个应力分量： 偏应力张量中法向应力分量的值与各向同性压力的大小有关。注意 :给出的各向同性压力的定义有一定任意性，这就使得应力张量的分解方法有多种结果。见下例，同一个应力张量给出两种不同的分解方法。 两种结果中各向同性压力的值不同，由此导致偏应力张量中法向应力分量的值不同。 但不管应力张量如何分解，偏应力张量中两个法向应力分量的差值始终保持不变。 在高分子液体流变过程中，单独去追求法向应力分量的绝对值没有多大意义。重要的是，两个法向应力分量的差值在各种分解中始终保持不变，于是我们就可以定义两个法向应力差函数来描写材料弹性形变行为： 简单剪切形变物体内一些平行平面彼此作相对移动，相对移动的大小与平面间距成比例，移动方向与平面平行。 矩形材料经简单剪切变为底角为90-γ的平行四边形，矩形内任一质点P（X1，X2，X3）位移到平行四边形中的P’(x1，x2，x3）点位置， 其位置矢量由X变为x。由图可以导出简单剪切形变的描述方程： 注意: X2=常数的平面为剪切平面， X1方向为物体层面平移的方向。 角γ的大小可以作为简单剪切形变的度量（当γ很小）。 简单剪切形变不引起物体任何部分体积的改变。 均匀拉伸形变 发生均匀拉伸形变时，物体在一个或几个坐标轴方向经历均匀伸缩。若三个坐标轴方向都有伸缩形变，则形变可由如下方程描写 图给出两种典型的拉伸形变过程。 A 表示一维拉伸形变，其形变度量可记为：λ1?1,λ2=λ3=1/λ0.5 ; 形变梯度张量 设在时刻t1， t2物体分别占有空间位形1、位形2。在t1时刻物体内的任一线元dX,在t2时刻占据的空间位置变为dx,则定义t1-t2 时刻间，物体内发生的形变梯度为： Cauchy-Green形变张量和Finger形变张量 尽管F不是对称张量，但F可构成一些新的张量，这些张量是对称张量，它们能正确的描述