第3–4章等值线等值面的生成.pptVIP

第3章 二维标量场等值线的生成 二维标量场可看成是定义于某一个面上的二维标量函数F=F(x, y)，所谓等值线是由所有点(xi, yi)构成，其中F(xi, yi) =Ft（为一给定值），将这些点按一定顺序连接起来就组成了函数值为Ft的等值线。对于二维标量场，其数据往往是分布在规则网格点上的，常用的等值线抽取方法有网格序列法和单元剖分法。 网格序列法 网格序列法(grid sequence)的基本思想是按网格单元的排列次序，逐个处理每一单元，寻找每一单元内相应的等值线段，在处理完所有单元后，就自然生成了该网格中的等值线分布。 规则网格数据等值线的生成 设一规则网格数据如图所示，网格线是相互正交的，每一网格单元是一矩形，其中四个顶点分别为(x0, y0)、(x0, y1)、(x1, y0)、(x1, y1)，对应的值分别为F00、F01、F10、F11。要在该单元内生成值为Ft的等值线，其主要计算步骤为： 逐个计算每一网格单元与等值线的交点； 连接该单元内等值线的交点，生成在该单元中的等值线线段； 由一系列单元内的等值线线段构成该网格中的等值线。 网格单元与等值线的交点计算主要是求各单元的边线与等值线的交点。假设函数在单元内呈线性变化，可以采用顶点判定，边上插值的方法计算交点，具体步骤为： 网格序列法 (1) 将网格点分为“IN”和“OUT”两种状态，表示该点在等值线内，或在等值线外。如果Fij≤Ft，则顶点(xi, yj)为“IN”，记为“－”；如果Fij﹥Ft，则顶点(xi, yj)为“OUT”，记为“＋”。 (2) 如果单元四个顶点全为“＋”，或全为“－”，则网格单元与值为Ft的等值线无交点，否则 (3) 对于两个顶点分别为“＋”、“－”的单元边，可用线性插值计算等值线在这条边上的交点。 如图所示，(x0, y0) 为“－”，(x0, y1) 为“＋”，则交点为 网格序列法 在每一单元内计算出等值线与该网格单元边的交点后，利用这些交点，就能构成在该单元内的等值线段。为了正确地连接交点生成等值线段，必须规定等值线的方向。等值线的方向定义如下： 沿等值线走，大于等值线值的点在等值线的左边，小于等值线值的点在等值线的右边。也就是“－”点在等值线的右边，“＋”点在等值线的左边。在规定了等值线的走向后，等值线的连接对于矩形单元可分如下四种情况进行： (1) 顶点全为“＋”，或全为“－”，无等值线段； (2) 有一个顶点为“＋”或“－”，共可求出两个交点，有一条等值线段，如图3。 网格序列法 (3) 有两个“＋”，两个“－”顶点的情况，根据顶点的分布又可分成下面两种情况： ① 有两个交点，即两个“＋”或两个“－”的顶点位于同一条单元边上，等值线段的连接如图4a所示。 ② 有4个交点，即“＋”、“－”顶点的分布相互交叉，这时的连接在规定了函数的走向后，可确定P，R为入点，S，Q为出点，连接情况如图4b所示。 在上述②的情况下，如果不规定等值线的走向，其实存在两种连接方式，见图5。在实际情况中，这两种方式都是可能的，这种二义性的主要原因是在该单元内存在一马鞍点。 网格序列法 如何从中选择一种正确的连接方式呢？这可从单元内的双线性插值函数分析入手。由于在单元边上采用了线性插值，由此单元面上函数值的变化是双线性的， 即等值线在单元内不是直线段而是双曲线。二义性连接可通过求该双曲线两条渐近线交点处的函数值来判定，这是因为渐近线的交点总是与其中一对顶点落入同一区域内，如渐近线交点为“＋”，则取图5a的连接方式；如为“－”，则取图5b的连接方式。即在图5a中，表示单元中部为“＋”，在图5b中，表示单元中部为“－”。在实际计算中，为简化计算，往往采用单元对角线交点代替渐近线交点的计算。 单元剖分法 在网格序列法中，提出了解决矩形单元内等值线的生成算法，其中马鞍点二义性的解决是算法的一个主要复杂点，除此之外人们还提出了单元剖分法，该方法与矩形单元法相比，其主要特点是采用三角片简化单元内等值线的抽取，无需再进行马鞍点的判定，但处理的单元数是原来的四倍。 算法的基本思想是利用对角线将矩形单元分成四个三角形单元，见图6，求出中心点的函数值，等值线的抽取直接在每个三角片中进行。由于每一个三角片至多只包含一条等值线，因而在由三角片的三个点决定的平面内，可直接用直线段连接等值线。 单元剖分法 中心点函数值Fmid的计算可采用两种方式： 如有显式函数F(x, y)，则Fmid = F(xmid, ymid)； 如只有四个点的函数值，无法求显式函数形式，则可用四点的平均值代替Fmid。 图7列出了几种可能的情况，可以看出，通过利用矩形单元中点的函数值，等值线的精度提高了，其抽取过程也相对简单些。 第4章 等值面的生成