calculus2导数与微分范例.ppt

解： 将函数取自然对数得 两边对x求导得 例12 且 设 均可导, 具有单值连续 反函数 ，则参数方程确定的函数可看成 与 复合而成的函数， 根据求导法则有： 求得y对x的导数 对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接 此即参数方程所确定函数的求导公式 2.参数方程所确定的函数的导数 变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程 确定的，其中t 称为参数 解： 曲线上对应t =1的点（x, y)为（0,0）, 曲线t =1在处的切线斜率为 于是所求的切线方程为 y =－x 求曲线 在t =1处的切线方程 例13 即 或 记作 或 二阶导数： 如果函数f(x)的导函数 仍是x的可导 函数，就称 的导数为f(x)的二阶导数， n阶导数： 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数的计算： 运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导 2.2.6 高阶导数 解： 特别地 例15 解： …… 即 同理 例14 解 如图，正方形金属片的面 积 A 与边长 x 的函数关系 为A = x2 , 受热后当边长由 x0伸长到x0+ 时, 面积A 相应的增量为 2.3.1 微分的概念 例1 设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的 边长伸长了 ，问其面积增加了多少？ 2.3 微分 的线性函数 从上式可以看出， 这表明 这部分就是面积 的增量的主要部分（线性主部） 所以上式可写成 可以表示为 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义， 处的增量 在点 如果函数 于是,（2.3.1)式可写成 处的微分， 可微， 称为 在点 处 在点 高阶的无穷小，则称函数 时 其中A是与 无关的常数， 是当 比 记为 由微分定义，函数f (x)在点x0处可微与可导等价， 且 ,因而 在点 x0 处的微分可写成 于是函数 通常把 记为 ，称自变量的微分， 上式两端同除以自变量的微分，得 因此导数也称为微商． 可微函数：如果函数在区间(a , b)内每一点都可微， 则称该函数在(a , b)内可微。 f (x)在点x0 处的微分又可写成 d x f(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为 解： 例2 求函数 y=x2 在 x=1, 时的改变量和微分。 于是 面积的微分为 解：面积的增量 面积的增量与微分． 当半径增大 例3 半径为r 的圆的面积 时，求 在点 处， 2.3.2 微分的几何意义 当自变量x有增量 时， 切线MT 的纵坐标相应地有增量 因此，微分 几何上表示当x有增量 时，曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量． 用 近似代替 就是用QP近似代替QN，并且 设函数y = f (x)的图形如下图所示.过曲线y = f (x)上一点 M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为 前页 结束 后页 前页 结束 后页 第2章 导数与微分 1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分 结束 2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为 2.1 导数的概念 这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角， 当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的 极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线 MT的斜率，即 当 趋向于0时，如果极限 设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产量Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时，总成本的平均变化率 存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。 例2 产品总成本的变化率 定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若 存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为 或 2.1.2 导数的概念 导数定义与下面的形式等价： 若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢. 三