第3章Z变换〔数字信号处理〕.pptVIP

3 序列的Z变换 3.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为 这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分析和变换。 (3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即 常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT之间的关系， 用下式表示： 式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。 例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|1， 因此收敛域为|z|1， 由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不存在， 但如果引进奇异函数δ(ω)， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。 3.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1≤n≤n2 x(n)= 0 其它 即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z变换为 n10， n2≤0时， 0≤z＜∞ n10， n20时， 0z＜∞ n1≥0， n20时， 0z≤∞ 例 3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 ? 解： 2. 右序列 右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。 ROC： 分析： 当 n1 ≥0时 第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-|z|≤∞， Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收敛域为Rx- |z|∞。 如果x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- |z|≤∞。 推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含∞点，则x(n)是因果序列 例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解： 当 n2≤0 当 n20 第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点不收敛）。 第一项根据前式的论述，当 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域 例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。 4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为 X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+Rx-， 其收敛域为Rx- |z| Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ Rx- ， 两个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。 例 3.5 x(n)=a|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。 解： 第一部分收敛域为|az|1， 得|z||a|-1， 第二部分收敛域为|az-1