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第四章 相似理论与量纲分析 第四章 相似理论与量纲分析 相似理论 量纲分析 第一节 相似理论 一、流体力学相似 流体力学相似 ：某一流动的某种量（速度、压力、阻力等）可由另一流动对应点的同名量乘以对全流场来说相同的某一常数而得到。 二、相似准则 3、欧拉相似准数(Euler) ----压力作用下两流动的相似准则 4、雷诺相似准数(Reynolds) ----粘性摩擦力作用下两流动的相似准则 5、马赫相似准数(Mach) 三、模型的设计与数据换算 第二节 量纲分析（因次分析） 相似理论告诉我们如何进行模型实验，如何将模型实验的所得数据换算到实型上去。而量纲分析也是实验的一个理论依据，它的作用是对已建立物理方程的流动问题，能给出肯定的答案，对于方程尚未建立的流动，虽不能给予肯定的回答，但却是处理这一类问题唯一可行的办法。 两种常用的量纲分析方法：雷利法、π定理。它们的共同特点是通过对有关物理量的量纲分析，使各物理量函数关系中的自变量减为最少，使实验大大简化。 本节仅讨论π定理。 一、量纲分析的基本概念 常用物理量的因次 作业： 4-7 4-10 4-11 例题2 解： （1）轿车行驶时，空气的粘性摩擦阻力决定其迎面阻力，而重力的作用则很小，故只要保证雷诺数相等，即可使流动力学相似。 由于模型中所用流体与原型中所用的流体是同种而且是同温度的。 尺度比例系数一般小于1，本实验的风洞实验段比较大，因此取： 故风洞实验段内气流速度应是： 模型轿车的高度为： 于是风洞实验段内的气流速度为： 此时风洞内气流已不能作为不可压缩流体来处理，因此尺度比例系数 不可取。 可见在取尺度比例系数时，要考虑流动性质和实验条件，并非完全随意。 （2）在模型流动设计时已定下： 在相同的流体和相同的温度下，流体密度比例系数为1，而力比例系数： 1、量纲——物理量的单位种类。 量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。 2、基本量纲和导出量纲 基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出。 任何特征量B的量纲可写成： 若特征量B为无量纲量，则 加速度的量纲： 力的量纲： 面积的量纲： 压强的量纲： 3、基本量和导出量 一个问题中诸多物理量可分成基本物理量（基本量）和其它物理量（导出量）两组，前者为互相独立的物理量，后者可通过某种关系式由前者导出。 基本量可随便取，但它们的量纲中应包含有L、T、M这三个基本量纲在内。如可取 作为基本量，也可取 作为基本量。 4、无量纲量（量纲为1） 物理量的所有量纲指数为零，用 表示。 无量纲量有：相似准数；系数；比例数等。 相同量纲量的比值 几个有量纲量通过乘除组合而成 如角度，三角函数 如压力系数： 如雷诺数： 无量纲量 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。 ?二.量纲和谐原理（量纲齐次原理） 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。 物理过程的有量纲表达形式为 ，其中 m 个物理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 ，?定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为: ?三. 布金汉(Buckingham)? 定理 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量，物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反了量纲和谐原理。 若描述某一力学现象或过程的n 特征量之间有下列关系： 于是 n 个有量纲的函数关系转换成（n-3）个无量纲的函数关系： （4-25） 上式即为∏定理的表达式，它表明任何有量纲的量之间的物理关系必可化为无量纲数之间的关系，并且减少了问题中的自变量的数目，这些无量纲数可由理论和实验确定，从而可由已知特征量求得另一些特征量。 例 初速为零的自由落体运动位移 s s ～ g , t g , t 选为基本量纲 三个量