第4章线性方程组与向量组的线性相关性.pptVIP

§3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 设列 向量组?1, ?2, …,?n, 则⑴ ⑵ ⑶ ⑷ (证明自行完成) §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 若B为行阶梯形矩阵，则 ⑴ ⑵ ⑶ §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 例3.3 设矩阵 求A的秩和A的列向量组?1,?2,?3,?4,?5的极大无关 组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关 组线性表示。 解 §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 可知R(A)=3, ?1,?2,?4是A的列向量组的极大无关组， ?3=-?1-?2， ?5=4?1+3?2-3?4. §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 例4 设矩阵 求A的行秩和A的行向量组的极大无关组，并把不 属于极大无关组的行向量用极大无关组线性表示. 解 §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 所以A的行向量组?1,?2,?3的秩=2， ?1,?2是A的行向量组?1,?2,?3的极大无关组， ?3=?1-2?2. §2 向量组的线性相关性 定义2.2 若向量组?1, ?2,…,?s中的每一个向量都 可由向量组?1, ?2,…,?t 线性表示，则称向量组?1, ?2,…,?s可由向量组?1, ?2,…,?t 线性表示；若两个 向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。 性质1若向量组?1, ?2,…,?s可由向量组?1, ?2,…, ?t 线性表示，向量组?1, ?2,…,?t 可由向量组?1,? 2, …,?p线性表示，则向量组?1, ?2,…,?s可由向量组 ?1,? 2,…,?p线性表示。（传递性） §2 向量组的线性相关性 性质2 ⑴向量组?1, ?2,…,?s与向量组?1, ?2,…,?s等价； ⑵若向量组?1, ?2,…,?s与向量组?1, ?2,…,?t 等价， 则向量组?1, ?2,…,?t 与向量组?1, ?2,…,?s等价； ⑶若向量组?1, ?2,…,?s与向量组?1, ?2,…,?t 等价， 向量组?1, ?2,…,?t 与向量组?1,? 2,…,?p等价， 则 向量组?1, ?2,…,?s与向量组?1,? 2,…,?p等价。 (证略) §2 向量组的线性相关性 2.向量组的线性相关性 定义2.3 设向量组?1, ?2,…,?s，若存在不全为零 的数?1, ?2,…,?s，使得 ?1?1+?2?2+…+?s?s=0, 则称向量组?1, ?2,…,?s线性相关；否则，称向量组 ?1, ?2,…,?s线性无关。 注：若对任意不全为零的数?1, ?2,…,?s，都有 ?1?1+?2?2+…+?s?s≠0, 则向量组?1, ?2,…,?s线性无关。 §2 向量组的线性相关性 例2.1 证明三维基本列向量组 证：因对任意不全为零的数?1, ?2,…,?s，都有 线性无关。 §2 向量组的线性相关性 由定义易得基本结论： ⑴单个向量?线性相关 ? 向量?=0 ； 单个向量?线性无关 ? 向量?≠0. ⑵向量?, ?线性相关 ? 向量?=k? 或?=k? ； ? ?与? 对应分量成比例 向量?, ?线性无关 ? 向量?与? 对应分量不成比例. ⑶向量组?1, ?2,…,?s线性相关 ? 向量组?1, ?2,…,?s,?s+1,…,?m线性相关. ⑷向量组?1, ?2,…,?s,?s+1,…,?m线性无关 ? 向量组?1, ?2,…,?s线性无关. §2 向量组的线性相关性 定理2.1向量组?1, ?2,…,?s线性相关 ? 齐次线性方程 x1?1+x2?2+…+xs?s=0 有非零解. 向量组?1, ?2,…,?s线性无关 ? 齐次线性方程 x1?1+x2?2+…+xs?s=0 只有零解. (由定义显然成立) 推论2.1 n维列向量组?1, ?2,…,?s线性相关 ? A=(?1, ?2,…,?s), R(A)s. 推论2.2 n维列向量组?1, ?2,…,?s线性无关 ? A=(?1, ?2,…,?s), R(A)=s. §2 向量组的线性相关性 推论2.1? n维行向量组?1, ?2,…,?s线性相关 ? 推论2.2? n维行向量组?1, ?2,…,?s线性无关 ? §2 向量组的线性相关性 推论